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Teoremi di Euclide



I due teoremi di Euclide si applicano ai triangoli rettangoli e sono tra i teoremi più importanti della geometria euclidea.


I teoremi riguardano relazioni che si osservano quando si considera come base del triangolo rettangolo la sua ipotenusa. In questo caso l'altezza, tracciata dal vertice retto alla base, divide l'ipotenusa in due segmenti che sono le proiezioni ortogonali dei due cateti sull'ipotenusa e che chiameremo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.




Disegniamo il triangolo rettangolo inscrivendolo nella semicirconferenza di diametro coincidente con l'ipotenusa .


L'altezza si dice altezza relativa all'ipotenusa. Il segmento e il segmento in cui risulta suddivisa l'ipotenusa sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.


In particolare è la proiezione del cateto sull'ipotenusa e è la proiezione del cateto sull'ipotenusa.


Il primo teorema di Euclide



In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.


In altre parole, il primo teorema di Euclide afferma che ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa


In formule:






o esprimendo la proporzione:










Primo teorema di Euclide:


In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.




Si ha cioè la proporzione:


Dimostrazione



Se si considera la similitudine dei triangoli, la dimostrazione del primo teorema di Euclide è immediata.


Consideriamo infatti il triangolo e il triangolo . Essi sono simili in quanto entrambi hanno un angolo retto ed hanno inoltre l'angolo in in comune. Gli elementi corrispondenti di ciascun triangolo sono quindi in proporzione tra di loro.


Osservando che è l'ipotenusa di e che è il cateto corrispondente ad , si ottiene la proporzione .


Applicando la proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medi è pari al prodotto degli estremi) si ottiene l'equivalenza voluta:




Esempi



Il primo teorema di Euclide può essere utilizzato per costruire un triangolo rettangolo di cui sono noti l'ipotenusa e la proiezione di un cateto.


Esempio

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Il secondo teorema di Euclide



Il secondo teorema di Euclide esprime una relazione tra l'altezza relativa all'ipotenusa e i due segmenti in cui essa taglia l'ipotenusa stessa (ovvero le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa):


Il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.


In altre parole,


L'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti.


In formule:




o esprimendo la proporzione:






Secondo teorema di Euclide:


Il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.



Dimostrazione



Anche il secondo teorema di Euclide si dimostra facilmente applicando la similitudine dei triangoli:, la dimostrazione del primo teorema di Euclide è immediata.


Consideriamo infatti il triangolo e il triangolo . Essi sono simili in quanto entrambi sono simili al triangolo (vedi dimostrazione del primo teorema di Euclide).

Nel triangolo BCH, l'altezza CH è il cateto omologo al cateto minore del triangolo ABC e la proiezione HB è il cateto omologo al cateto maggiore del triangolo ABC.

Nel triangolo ACH invece, l'altezza CH è il cateto omologo al cateto maggiore di ABC mentre la proiezione AH è omologa al cateto minore di ABC.

Scriveremo quindi la proporzione in questo modo




Applicando la proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medi è pari al prodotto degli estremi) si ottiene l'equivalenza voluta:




Esempi



Il secondo teorema di Euclide ha molte interessanti applicazioni: può ad esempio essere usato per costruire un segmento di lunghezza pari alla radice quadrata di un numero a piacere.


Esempio

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Autore principale e redattore del materiale didattico: OpenProf.com