matematica fb
 

Simmetrie assiali



Nel capitolo Isometrie nel piano abbiamo definito una simmetria assiale rispetto ad una retta s come un'isometria che


  • ribalta l'orientazione della figura (ad esempio se i vertici della figura origine sono ordinati in senso antiorario, le loro immagini risultano ordinate in senso orario)

  • mantiene l'inclinazione di alcuni segmenti (quelli paralleli e quelli perpendicolari alla retta s).

  • ha come punti fissi i punti dell'asse di simmetria s.


Abbiamo quindi dato la definizione di simmetria assiale in questo modo:


Data una retta del piano, l'isometria




è una simmetria assiale se e solo se ha le seguenti proprietà:


  • il segmento TT' è perpendicolare ad

  • La distanza di dal punto T' è pari alla distanza di dal punto T




Costruire una simmetria assiale



Quando ci guardiamo allo specchio, l'impressione che abbiamo è che la nostra immagine riflessa abbia la stessa distanza dalla superficie dello specchio come quella che abbiamo noi. Anche gli altri oggetti attorno a noi ci sembrano riflessi alla stessa distanza dallo specchio come quella che hanno nella realtà.


Per costruire una simmetria assiale nel piano bisogna quindi collocare l'immagine di ogni punto alla stessa distanza dall'asse di simmetria come quella del punto considerato, ma dall'altra parte della retta ovvero, per usare i termini matematici, nel semipiano opposto.


Trovare l'asse di una simmetria



Supponiamo di avere due figure isometriche che non hanno la stessa orientazione: come possiamo sapere se sono una la simmetrica dell'altra rispetto ad una simmetria assiale?


La nostra definizione di simmetria assiale prevede che:


  • l'asse di simmetria sia perpendicolare al segmento che congiunge ciascun punto con la sua immagine

  • l'asse di simmetria passi nel punto medio tra ciascun punto e la sua immagine


In definitiva l'asse di simmetria dev'essere l'asse di ogni segmento che congiunge un punto con la sua immagine.

Questo vuol dire che ciascuno dei segmenti così costruiti dev'essere parallelo a tutti gli altri, in quanto devono essere tutti perpendicolari alla stessa retta. I loro punti medi inoltre devono essere tutti allineati.

Se questo avviene, per trovare l'asse di simmetria basterà costruire l'asse del segmento che congiunge un qualsiasi punto della figura origine con il suo punto corrispondente nella figura immagine.


Nel caso dei poligoni, è sufficiente lavorare ad esempio sui vertici. Vediamo il caso dei triangoli con qualche esempio.


La prima cosa da fare, è di congiungere ciascun vertice con la sua immagine. Otterremo così tre segmenti e osservando le loro posizioni reciproche possiamo distinguere due diversi casi:


  • i tre segmenti sono tutti paralleli tra di loro

  • i tre segmenti non sono tutti paralleli tra di loro


Vediamo cosa succede in ciascuno dei due casi:


Caso 1: I segmenti che congiungono ogni vertice con la sua immagine sono tutti paralleli tra di loro

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Caso 2: i segmenti che congiungono ogni vertice con la sua immagine non sono tutti paralleli tra di loro

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Glissosimmetrie



Consideriamo un'isometria inversa che non sia una semplice simmetria:



Gli assi dei segmenti che congiungono i vertici corrispondenti non sono paralleli tra di loro, quindi l'isometria non è una simmetria assiale. Questo secondo tipo di isometria inversa può essere pensato come la composizione di una traslazione e di una simmetria assiale, per questo prende il nome di glissosimmetria o di antitraslazione.


Figure invarianti per simmetria assiale



Se prendiamo carta e forbici e ritagliamo alcune figure, possiamo notare che:


  • alcune figure si possono piegare a metà in modo che le due parti si sovrappongano esattamente, seguendo alcune linee di piegatura particolari

  • alcune figure non si possono mai piegare a metà in modo che le due parti si sovrappongano esattamente, qualunque sia la linea di piegatura che scegliamo


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Le simmetrie assiali possono essere usate per classificare alcune figure:


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


In generale, indicando con n un numero intero maggiore o uguale a zero, possiamo dire che:


Una figura geometrica ha n assi di simmetria se esistono n corde distinte rispetto alle quali una simmetria assiale trasforma la figura in se stessa.



Se n = 0, la figura non ha assi di simmetria.

Se n > 0 si può dire che la figura ha n assi di simmetria.


Tutte le isometrie nascono dalle simmetrie assiali



Un risultato interessante che si dimostra nella matematica avanzata è il seguente:


tutte le isometrie del piano possono essere generate da una composizione di una, due o tre simmetrie assiali opportunamente scelte



Naturalmente, se si applica una sola simmetria assiale si ottiene ... proprio quella simmetria assiale!

Possiamo quindi immaginare che le traslazioni, le rotazioni e le glissosimmetrie (e persino l'identità, ovvero l'isometria che lascia immobile la figura) vengano generate da due o più simmetrie assiali.


Per verificare con qualche esempio intuitivo questo sorprendente risultato, verifichiamolo con qualche esempio nei seguenti casi:


  • identità (2 simmetrie assiali)

  • traslazione (2 simmetrie assiali)

  • rotazione (2 simmetrie assiali)


La glissosimmetria è una composizione di una traslazione e di una simmetria assiale, quindi le simmetrie assiali necessarie per generarla saranno 2 + 1 = 3.


Identità



Ricordiamo che l'isometria identica o identità è quella isometria che manda ogni punto in se stesso.


Possiamo dire con parole semplici che l'isometria identica è quella che lascia "immobile" la figura.


l'isometria identica può essere ottenuta applicando due volte la simmetria assiale rispetto a uno stesso asse di simmetria scelto a piacere.



Vediamolo con un esempio:


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Traslazione



Ricordiamo che una traslazione è definita da un vettore costante che definisce il modulo, la direzione e il verso della traslazione per ciascun punto dell'insieme a cui è applicata.


Vediamo con un esempio come si può ottenere una traslazione applicando consecutivamente due simmetrie assiali:


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Rotazione



Ricordiamo che una rotazione è definita da un punto fisso (il centro della rotazione) e da un angolo di rotazione che è costante per tutti i punti.


Vediamo con un esempio come la rotazione può essere ottenuta applicando consecutivamente due simmetrie assiali:


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Il modo in cui possiamo scegliere i due assi di simmetria non è unico, tuttavia possiamo intuire (e si può dimostrare) la seguente proprietà degli assi di simmetria che compongono una rotazione:


Una rotazione di centro C e angolo si può scomporre in due simmetrie assiali con gli assi passanti per il punto C e tali che l'angolo da essi formato sia pari alla metà di


Autore principale e redattore del materiale didattico: OpenProf.com