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Rotazioni



Nel capitolo Isometrie nel piano abbiamo definito una rotazione come una trasformazione isometrica che non conserva l'inclinazione di alcun segmento della figura ma che conserva l'orientazione:


Una rotazione è una funzione che a ciascun punto T dell'insieme origine associa il punto T' ottenuto ruotando T di un angolo assegnato rispetto a un punto fisso S. In formule:




Il punto S intorno al quale avviene la rotazione si chiama centro di rotazione. L'angolo è detto angolo di rotazione.

Il centro di rotazione S è l'unico punto fisso della trasformazione. Nelle tre dimensioni, esso può essere pensato come il punto d'intersezione del piano della trasformazione con un asse di rotazione perpendicolare a tale piano e passante per S.



Determinare il centro e l'angolo di una rotazione



Se partiamo da una figura origine e vogliamo applicare una rotazione di centro e angolo di rotazione assegnati, possiamo facilmente farlo puntando un compasso nel centro di rotazione e tracciando l'immagine ruotata di alcuni punti di riferimento della figura, per ottenere la sua immagine.





Ci possiamo però anche chiedere se sia possibile determinare il centro e l'angolo di rotazione di una figura conoscendo la sua immagine.

Per rispondere a questa domanda, possiamo ragionare in questo modo:


  • Ogni punto e la sua immagine stanno su un arco di circonferenza di ampiezza e centro R, dove indica l'angolo di rotazione e R il centro di rotazione che vogliamo determinare.

  • Non conosciamo nè l'ampiezza di nè la posizione di R, tuttavia sappiamo che il centro di una circonferenza si trova sull'asse di ogni sua corda

  • Per determinare R possiamo quindi cercare l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono ogni punto della figura origine con la sua immagine

  • Per determinare R con il metodo sopra indicato, basterà intersecare gli assi di due segmenti non paralleli tra di loro

  • Una volta determinato il centro di rotazione, possiamo facilmente calcolare l'angolo di rotazione con l'aiuto di un goniometro o di un altro strumento di misura.


Vediamo un esempio nel caso di un triangolo:


Esempio

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Rototraslazioni



Riprendiamo i due triangoli dell'esempio precedente:




In quanti modi si può passare dal triangolo ABC al triangolo A'B'C'?


Se immaginiamo di costruire una sagoma della figura con del cartoncino e di muoverla per farla passare da una all'altra delle due posizioni iniziale e finale, ci accorgiamo facilmente che i "percorsi" che può fare la sagoma senza piegarsi, deformarsi o ribaltarsi sono ... infiniti!

Tuttavia, in matematica ciascuno di questi spostamenti viene "riepilogato" come la somma di una rotazione e di una traslazione. Parleremo in questo caso di una rototraslazione.


Vediamo un esempio utilizzando ancora i nostri due triangoli:


Esempio

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E' importante sapere che


Per ogni rototraslazione nel piano, esiste una rotazione ad essa equivalente (ovvero che trasforma allo stesso modo la figura di partenza in quella di arrivo.



Nella geometria solida invece esistono rototraslazioni che non sono equivalenti ad alcuna rotazione.


Autore principale e redattore del materiale didattico: OpenProf.com