Come tra i numeri interi, possiamo fare una serie di operazioni matematiche tra i numeri razionali. Oltre alle operazioni di base come somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenze, ci sono alcune operazioni particolari dei numeri razionali. Cominciamo con una di queste, la semplificazione.
La semplificazione ci permette di trasformare una frazione con numeratore e denominatore grandi, in una frazione equivalente con numeratore e denominatore più piccoli.
Consideriamo una frazione:
Senza che cambi il valore della frazione possiamo dividere il numeratore e il denominatore per un loro divisore comune, grazie alla proprietà invariantiva:
Per semplificare una frazione, dividiamo il numeratore ed il denominatore per il loro divisore comune più grande, il massimo comun divisore. Otteniamo una frazione equivalente a quella data, ma più semplice:
Non possiamo semplificare le frazioni irriducibili. La frazione:
Non può essere semplificata perchè il massimo comun divisore tra 3 e 4 è 1.
Eseguiamo la somma tra due frazione in modo diverso se hanno lo stesso denominatore o se hanno due denominatori diversi. Vediamo i due casi.
La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è uguale a:
La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è uguale ad una frazione con:
Lo stesso denominatore;
Il numeratore è la somma dei numeratori dati.
Nel caso di frazioni con denominatori diversi, dobbiamo trasformarle in frazioni con lo stesso denominatore, sfruttando la proprietà invariantiva. Le frazioni con denominatore comune devono essere equivalenti a quelle di partenza. Per convenienza, prendiamo il minimo comune multiplo tra i denominatori, chiamato minimo comune denominatore. Può essere abbreviato con m.c.d.
Vediamo come funziona tramite un esempio.
Dissociare una frazione significa scriverla come somma di due o più frazioni.
Data una frazione:
Esprimiamo il numeratore come somma di due numeri interi:
Sostituiamo ed applichiamo la definizione di addizione tra frazioni
Introduciamo il concetto di frazione opposta, che è legato alla somma. La somma tra una frazione e la sua opposta risulta zero.
Due frazioni opposte sono:
Infatti se le sommiamo otteniamo 0:
L'opposta di una frazione è una frazione con numeratore e denominatore uguali a quelli dati, a meno del segno di uno dei due.
Possiamo mettere il segno meno in tre posizioni, senza cambiare il significato di una frazione:
Vediamo un esempio:
Definiamo la sottrazione a partire dalla sottrazione, come per i numeri interi. Possiamo pensare alla sottrazione tra due frazioni come alla somma tra la prima frazione e l'opposta della seconda.
La sottrazione tra frazioni è quindi uguale alla somma tra frazioni. Anche qui dobbiamo fare attenzione al denominatore delle frazioni.
Il loro prodotto di due frazioni è:
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Il segno segue la regola dei segni introdotta con i numeri interi.
Nella moltiplicazione è possibile semplificare una frazione con l'altra.
Nell'ambito della moltiplicazione tra frazioni, introduciamo il concetto di frazione reciproca. Il prodotto tra una frazione e la sua reciproca risulta uno.
Consideriamo una frazione:
La reciproca di una frazione è una frazione che ha numeratore e denominatore scambiati.
Infatti se le moltiplichiamo otteniamo 1:
Una frazione che ammetta reciproca si dice invertibile.
La frazione:
Non è invertibile perché la sua reciproca:
Non è una frazione.
Vediamo un esempio:
Possiamo definire la divisione tra frazioni a partire dalla moltiplicazione. La divisione tra due frazioni è infatti una moltiplicazione, ma dobbiamo moltiplicare la prima frazione con il reciproco della seconda frazione.
La divisione tra due frazioni è il prodotto della prima con il reciproco della seconda. La regola per i segni è la stessa della moltiplicazione.
In questo capitolo cercheremo di definire le potenze di frazioni cercando di mantenere ed estendere le proprietà che esse avevano per i numeri interi.
Calcoliamo la potenza n-esima di una frazione, con n intero positivo:
Applichiamo la regola di moltiplicazione per frazioni n volte:
La potenza di una frazione con esponente intero positivo è una frazione che ha per numeratore la potenza n-esima del numeratore dato e per denominatore la potenza n-esima del denominatore dato.
Merita una discussione a parte la frazione non nulla elevata alla 0:
Calcoliamo la potenza:
La potenza di esponente 0 di una frazione non nulla è 1.
La scrittura:
Non ha significato in quanto:
La potenza n-esima di una frazione con n intero negativo è una frazione che ha per base l'inversa della frazione di partenza ed esponente opposto.
La frazione con numeratore nullo elevata ad esponente negativo:
Non ha significato, perché equivale ad una frazione con denominatore nullo:
Per la radice della frazioni rimandiamo alla sezione sui radicali. In generale, vale la regola:
Abbiamo già visto con i numeri interi quali sono le regole per calcolare il risultato di più operazioni tra di essi. Tali regole rimangono valide per le frazioni.
In un'espressione con frazioni l'ordine delle operazioni è:
moltiplicazioni e divisioni;
addizioni e sottrazioni;
L'ordine delle parentesi è:
parentesi tonde ( );
parentesi quadre [ ];
parentesi graffe { };
nessuna parentesi;
