Le potenze

La potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta.

Dato un numero relativo a e un numero intero n maggiore di 1, si chiama potenza ennesima il prodotto di n fattori uguali ad a.

Dove a è la base e n è l'esponente.

Dagli esempi notiamo che quando la base è positiva la potenza dà un risultato positivo qualunque sia l'esponente. Quando la base è negativa, invece, la potenza dà un risultato positivo se l'esponente è pari, negativo se l'esponente è dispari. Questo succede perché con l'esponente pari si ha un prodotto di un numero pari di fattori negativi, con l'esponente dispari si ha un numero dispari di fattori negativi.

Prodotto di due potenze con la stessa base:

è una potenza di base a e con esponente la somma degli esponenti dei singoli fattori.

Quoziente di due potenze con la stessa base con m>n:

è una potenza di base a e con esponente la differenza degli esponenti.

La regola è valida anche per m=n, infatti:

L'uguaglianza è possibile perché è stato definito in precedenza:

Sappiamo che:

è valida per:

Dimostriamo con un esempio come trattare il quoziente di potenze con esponenti negativi, cioè quando:

Quindi, se a è un numero relativo diverso da zero, ed n un numero intero positivo, si ha, per definizione:

Vediamo un esempio:

Abbiamo visto che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo. Con abbiamo:

La potenza di una potenza è pari a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:

La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.

La potenza di un quoziente è pari al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore.

La potenza con esponente razionale (frazionario) equivale ad una radice.

Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli possiamo utilizzare le potenze del 10. Ad esempio, la massa del transatlantico Titanic era circa:

cioè:

Quindi possiamo esprimere ogni numero in questa forma:

con

Se abbiamo un valore di k inferiore di 1, si parla di notazione esponenziale. Per scrivere un numero in notazione scientifica, come prima cosa occorre contare di quanti posti dobbiamo spostare la virgola per ottenere un k compreso tra 0 e 1. Il numero di posti rappresenta l'esponente della potenza.

Spostiamo la virgola di 7 posti per avere k= 5

Quando non è necessario esprimere con estrema precisione un numero possiamo semplicemente indicarne l'ordine di grandezza (odg), cioè la potenza del 10 più vicina al numero considerato.

Per determinare l'odg è necessario scrivere il numero in notazione scientifica e poi controllare il valore di k:

Il numero 64.000 è esprimibile con

Dato che

allora l'ordine di grandezza è

Possiamo sommare o sottrarre solo numeri con lo stesso ordine di grandezza.

i due numeri hanno lo stesso odg, quindi:

Nel caso i due numeri non avessero lo stesso odg, sarà necessario riportare i numeri all'odg del numero maggiore e poi proseguire con la somma o la sottrazione.

Rendiamo ancora più chiaro queste operazioni con due esempi: