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Operazioni tra frazioni



Come tra i numeri interi, possiamo fare una serie di operazioni matematiche tra i numeri razionali. Oltre alle operazioni di base come somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenze, ci sono alcune operazioni particolari dei numeri razionali. Cominciamo con una di queste, la semplificazione.


Semplificazione



La semplificazione ci permette di trasformare una frazione con numeratore e denominatore grandi, in una frazione equivalente con numeratore e denominatore più piccoli.


Consideriamo una frazione:




Senza che cambi il valore della frazione possiamo dividere il numeratore e il denominatore per un loro divisore comune, grazie alla proprietà invariantiva:




Per semplificare una frazione, dividiamo il numeratore ed il denominatore per il loro divisore comune più grande, il massimo comun divisore. Otteniamo una frazione equivalente a quella data, ma più semplice:




Non possiamo semplificare le frazioni irriducibili. La frazione:




Non può essere semplificata perchè il massimo comun divisore tra 3 e 4 è 1.



Esempio

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Addizione



Eseguiamo la somma tra due frazione in modo diverso se hanno lo stesso denominatore o se hanno due denominatori diversi. Vediamo i due casi.


Stesso denominatore



La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è uguale a:




La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è uguale ad una frazione con:

  • Lo stesso denominatore;

  • Il numeratore è la somma dei numeratori dati.


Esempio

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Denominatore diverso



Nel caso di frazioni con denominatori diversi, dobbiamo trasformarle in frazioni con lo stesso denominatore, sfruttando la proprietà invariantiva. Le frazioni con denominatore comune devono essere equivalenti a quelle di partenza. Per convenienza, prendiamo il minimo comune multiplo tra i denominatori, chiamato minimo comune denominatore. Può essere abbreviato con m.c.d.


Vediamo come funziona tramite un esempio.


Esempio

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Dissociazione



Dissociare una frazione significa scriverla come somma di due o più frazioni.


Data una frazione:



Esprimiamo il numeratore come somma di due numeri interi:



Sostituiamo ed applichiamo la definizione di addizione tra frazioni




Esempio

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Frazione opposta



Introduciamo il concetto di frazione opposta, che è legato alla somma. La somma tra una frazione e la sua opposta risulta zero.


Due frazioni opposte sono:




Infatti se le sommiamo otteniamo 0:




L'opposta di una frazione è una frazione con numeratore e denominatore uguali a quelli dati, a meno del segno di uno dei due.


Possiamo mettere il segno meno in tre posizioni, senza cambiare il significato di una frazione:




Vediamo un esempio:


Esempio

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Sottrazione



Definiamo la sottrazione a partire dalla sottrazione, come per i numeri interi. Possiamo pensare alla sottrazione tra due frazioni come alla somma tra la prima frazione e l'opposta della seconda.




La sottrazione tra frazioni è quindi uguale alla somma tra frazioni. Anche qui dobbiamo fare attenzione al denominatore delle frazioni.




Esempio

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Moltiplicazione



Il loro prodotto di due frazioni è:




Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Il segno segue la regola dei segni introdotta con i numeri interi.


Esempio

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Nella moltiplicazione è possibile semplificare una frazione con l'altra.


Esempio

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Frazione reciproca o inversa



Nell'ambito della moltiplicazione tra frazioni, introduciamo il concetto di frazione reciproca. Il prodotto tra una frazione e la sua reciproca risulta uno.


Consideriamo una frazione:



La reciproca di una frazione è una frazione che ha numeratore e denominatore scambiati.




Infatti se le moltiplichiamo otteniamo 1:




Una frazione che ammetta reciproca si dice invertibile.


La frazione:




Non è invertibile perché la sua reciproca:




Non è una frazione.



Vediamo un esempio:


Esempio

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Divisione



Possiamo definire la divisione tra frazioni a partire dalla moltiplicazione. La divisione tra due frazioni è infatti una moltiplicazione, ma dobbiamo moltiplicare la prima frazione con il reciproco della seconda frazione.




La divisione tra due frazioni è il prodotto della prima con il reciproco della seconda. La regola per i segni è la stessa della moltiplicazione.


Esempio

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Potenze di Frazioni



In questo capitolo cercheremo di definire le potenze di frazioni cercando di mantenere ed estendere le proprietà che esse avevano per i numeri interi.


Esponente intero positivo



Calcoliamo la potenza n-esima di una frazione, con n intero positivo:



Applichiamo la regola di moltiplicazione per frazioni n volte:




La potenza di una frazione con esponente intero positivo è una frazione che ha per numeratore la potenza n-esima del numeratore dato e per denominatore la potenza n-esima del denominatore dato.


Esempio

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Esponente nullo



Merita una discussione a parte la frazione non nulla elevata alla 0:






Calcoliamo la potenza:




La potenza di esponente 0 di una frazione non nulla è 1.


La scrittura:




Non ha significato in quanto:




Esponente intero negativo



La potenza n-esima di una frazione con n intero negativo è una frazione che ha per base l'inversa della frazione di partenza ed esponente opposto.




Esempio

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La frazione con numeratore nullo elevata ad esponente negativo:




Non ha significato, perché equivale ad una frazione con denominatore nullo:




Radice di una frazione



Per la radice della frazioni rimandiamo alla sezione sui radicali. In generale, vale la regola:




Espressioni con Frazioni



Abbiamo già visto con i numeri interi quali sono le regole per calcolare il risultato di più operazioni tra di essi. Tali regole rimangono valide per le frazioni.


In un'espressione con frazioni l'ordine delle operazioni è:

  • moltiplicazioni e divisioni;

  • addizioni e sottrazioni;


L'ordine delle parentesi è:

  • parentesi tonde ( );

  • parentesi quadre [ ];

  • parentesi graffe { };

  • nessuna parentesi;


Esempio

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Autore principale e redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin
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