Esercizi svolti di matematica per la quarta superiore

Esercizi risolti per capitolo:

Addizione e sottrazione con i vettori

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Relazioni tra vettori

1. Vettori colineari

2. Vettori complanari

3. Combinazione lineare

3.1. Combinazione lineare di due vettori

3.1.1. Combinazione lineare di tre o più vettori

4. Base del piano e base spaziale

5. Forum

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Operazioni con i vettori

1. Vettore spostamento

2. Addizione e sottrazione di vettori

2.1. Addizione

2.1.1. Proprietà dell'addizione tra vettori

2.2. Sottrazione tra vettori

3. Equazione vettoriale

4. Moltiplicazione di un vettore con uno scalare

4.1. Proprietà della moltiplicazione tra un vettore ed uno scalare

5. Forum

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Esempio 1.

Sia ABCD un parallelogramma avente e . Sia E un punto del lato AD tale che .

La retta passante per AB intersechi la retta passante per CE nel punto F.

Trovare il vettore in funzione del vettore .
Trovare il modulo di .

Esempio 2.

Dato il rombo ABCD sia E il punto medio del lato AB, F il punto medio del lato BC e G un punto del lato AD tale che divide il lato nel rapporto 2:1. Conoscendo i vettori e calcolare i vettori:

Dati i vettori ed scriverli tutti in funzione di e .

Dato l'esagono regolare ABCDEF ed i vettori e calcolare i vettori:

Dato un trapezio ABCD, E è il punto medio del lato AB ed F è un punto che divide il lato DC secondo i rapporti . Noti i vettori:

esprimere in funzione di e i vettori:

Siano A, B, C e D i vertici di un tetraedro ABCD, E sia il punto medio del lato BD, F il punto medio del lato CD e G il centro del triangolo ABC.

Utilizzando i vettori

calcolare i vettori:

Dato un parallelogramma ABCD ed i vettori ed , dimostrare che il vettore corrisponde a metà della diagonale .

Dato un segmento AB sia S il punto medio e T un punto del piano.

Scelti i vettori e , dimostrare che .

Sia T il baricentro di un triangolo ABC, O un punto del piano e si conoscano i vettori:

Dimostrare che .

10.

Sia data la seguente figura.

Utilizzando come vettori di base e trovare i seguenti vettori:

11.

Dato il triangolo ABC sia D un punto del lato AB tale che , mentre E è un punto del lato BC tale che . Sia F il punto in cui si intersecano i lati AE e DC. Trovare il rapporto .

12.

Dato un parallelogramma ABCD, E è il punto medio di BC ed F è l'intersezione di AE con la diagonale BD. In quale rapporto stanno BF ed FD?

13.

Dato un parallelogramma ABCD, E è un punto del lato AB tale che:

mentre F è un punto del lato BC tale che:

Sia G il punto di intersezione di AF con EC. In quale rapporto stanno AG e GF?

14.

Dato un parallelogramma ABCD sia E un punto del lato AB tale che:

F un punto del lato BC tale che:

ed infine G il punto di intersezione di AF ed EC.

Dimostrare che:

15.

Dato un cubo ABCDEFGH sia S il punto medio del lato AD e T il punto medio di FG. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore

16.

Dato un cubo ABCDEFGH sia S il punto medio del lato AD e T il punto medio di FG. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore:

17.

Dato un cubo ABCDEFGH sia S il punto medio del lato AD e T il punto medio di FG. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore:

18.

Dato un parallelepipedo ABCDEFGH sia S l'intersezione delle diagonali di CDHG e T il punto medio di EH. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore:

19.

Dato un parallelepipedo ABCDEFGH sia S l'intersezione delle diagonali di CDHG e T il punto medio di EH. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore:

20.

Dato un parallelepipedo ABCDEFGH sia S l'intersezione delle diagonali di CDHG e T il punto medio di EH. Scegliendo come vettori di base:

trovare il vettore:

21.

Data la seguente equazione vettoriale:

trovare i valori degli scalari k, l ed m in modo che i vettori:

siano non complanari.

22.

Dato un cubo ABCDEFGH sia S un punto della diagonale AC tale che:

e dove T è il punto di intersezione di ES e AG. In che rapporto stanno ST e TE?

Calcola:

Calcolare:

Calcolare:

Dato un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

27.

Dato un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

28.

Dato un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

29.

Dato un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

30.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a = 3cm e disegnare il vettore:

31.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a = 3cm e disegnare il vettore:

32.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a=3 cm e disegnare il vettore:

33.

Considerare la seguente immagine:

Scrivere almeno una relazione che lega tutti i vettori.

34.

Sia dato un cubo ABCDEFGH.

Semplificare la seguente somma:

35.

Sia dato un cubo ABCDEFGH.

Semplificare la seguente somma:

36.

Sia dato un cubo ABCDEFGH.

Semplificare la seguente somma:

37.

Sia dato un cubo ABCDEFGH.

Semplificare la seguente somma:

38.

Sia dato un parallelepipedo a base quadrata ABCDEFGH.

Dati i vettori e scrivere il vettore .

39.

In un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

40.

In un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

41.

In un parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

42.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a = 3 cm e disegnare il vettore:

43.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a = 3 cm e disegnare il vettore:

44.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a=3cm e disegnare il vettore:

45.

Rappresentare un esagono ABCDEF il cui lato misura a=3 cm e disegnare il vettore:

46.

Dato un quadrato ABCD siano:

Trovare il vettore:

47.

Nel parallelogramma ABCD disegnare il vettore:

48.

Nel quadrato ABCD sia:

Rappresentare il vettore:

49.

Nel quadrato ABCD sia:

Rappresentare il vettore:

50.

Nel quadrato ABCD sia:

Rappresentare il vettore:

51.

Nel quadrato ABCD sia:

Rappresentare il vettore:

52.

Nel quadrato ABCD sia:

Rappresentare il vettore:

53.

Data l'immagine seguente, scrivere una relazione tra i vettori.

54.

Data la seguente figura, scrivere due relazioni tra i vettori.

55.

Data la seguente figura, scrivere due relazioni tra i vettori.

56.

Sia dato un parallelepipedo ABCDEFGH e siano:

Rappresentare il vettore:

57.

Dato il parallelepipedo ABCDEFGH si conoscono i vettori:

Trovare il vettore:

58.

Dato il parallelogramma ABCDEFGH ed i vettori:

trovare il vettore:

59.

Dato il parallelepipedo ABCDEFGH ed i vettori:

trovare il vettore:

60.

Dato il parallelepipedo ABCDEFGH ed i vettori:

trovare il vettore:

61.

Dato il parallelogramma ABCDEFGH ed i vettori:

trovare il vettore:

62.

Dato il parallelepipedo ABCDEFGH ed i vettori:

Calcolare il vettore:

63.

Dati i punti A,B,C e D di una stessa retta, risolvere l'equazione vettoriale:

64.

Dati i punti A,B,C e D su una stessa retta, risolvere l'equazione vettoriale:

65.

Dati i punti A, B e D risolvere l'equazione vettoriale:

66.

Dati i punti A, B, C e D risolvere l'equazione vettoriale:

Calcolare .

Calcolare

Calcolare

Calcolare

Calcolare

Risolvere l'equazione vettoriale:

73.

Risolvere l'equazione vettoriale:

74.

Calcolare il valore dell'espressione

dove

75.

Dato un triangolo ABC sia:

disegnare il triangolo.
disegnare il vettore

76.

Disegnare i vettori:

formanti un angolo di . Trovare i punti D, E ed S in modo che:

77.

In un triangolo ABC il punto D è il punto medio di AC, mentre il punto E è il punto medio di BC. Siano dati i vettori e . Dimostrare che il segmento DE è la metà di AB.

78.

Dato un rettangolo ABCD ed i seguenti vettori:

disegnare il rettangolo ed indicare con S il punto medio delle diagonali
disegnare il vettore e , esprimendo tutto in funzione dei vettori e
trovare per quale numero reale k si ha
esprimere il versore relativo al vettore

79.

In un triangolo ABC sia D un punto del lato AC tale che:

Indicare con E il punto medio del segmento DB. Dati i vettori e esprimere i vettori:

80.

In un parallelogramma ABCD, sia E il punto medio di AD ed F il punto medio di BC.

Dimostrare che:

81.

Dato un trapezio ABCD, esprimere il vettore in funzione degli altri vettori e dimostrare che è parallelo alle basi e passante per il punto medio dei lati obliqui.

82.

In un tetraedro ABCD, sia E il punto medio di BC ed F il punto medio di CD. Dati i vettori e esprimere il vettore

83.

Dato un parallelepipedo rettangolo ABCDEFGH sia I il punto medio di FG, J il punto medio di DH e K il punto centrale del rettangolo CDHG. Dati i vettori:

rappresentare il vettore:

84.

Dato un parallelepipedo rettangolo ABCDEFGH sia I il punto medio di FG, J il punto medio di DH e K il punto centrale del rettangolo CDHG. Dati i vettori:

rappresentare il vettore:

85.

Dato un parallelepipedo rettangolo ABCDEFGH sia I il punto medio di FG, J il punto medio di DH e K il punto centrale del rettangolo CDHG. Dati i vettori:

rappresentare il vettore:

86.

Dato un parallelepipedo rettangolo ABCDEFGH sia I il punto medio di FG, J il punto medio di DH e K il punto centrale del rettangolo CDHG. Dati i vettori:

rappresentare il vettore: