Addizione e sottrazione con i vettori fb
 

Relazioni tra vettori



Vettori colineari



Due vettori e sono colineari se sono paralleli o giacciono su linee parallele.


Se i vettori e sono colineari e se è diverso da zero, esiste un tale che:




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Vettori complanari



Tre vettori sono complanari se giacciono sullo stesso piano.


Se i vettori e sono complanari, esistono tali che:




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Combinazione lineare



Una combinazione lineare di vettori è una somma di diversi vettori moltiplicata con numeri reali.


Combinazione lineare di due vettori



La combinazione lineare di due vettori e è scritta come:




dove k ed l sono due numeri reali.


Il risultato della combinazione lineare tra due vettori dipende non soltanto dai vettori ma anche dai valori dei numeri reali.


Nel caso in cui k = l = 0 la combinazione lineare dei vettori e è pari a zero:




I vettori la cui combinazione lineare è zero solo quando k = l = 0 sono detti vettori linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti.


Intuitivamente: i vettori sono linearmente dipendenti se sono paralleli, altrimenti sono linearmente indipendenti.


I vettori e sono linearmente indipendenti se, dati i numeri reali k ed l, la loro somma




è 0 solo quando k = 0 e l = 0. In caso contrario i vettori sono linearmente dipendenti.



I vettori e sono linearmente dipendenti se e solo se sono colineari.



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Combinazione lineare di tre o più vettori



Una combinazione lineare dei tre vettori e si esprime come la somma dei tre vettori moltiplicati per i numeri reali k, l ed m:




Il risultato della combinazione lineare tra tre vettori dipende non soltanto dai vettori ma anche dai valori dei numeri reali. Se k = l = m = 0 la combinazione lineare dei vettori e danno come risultato il vettore zero:




I vettori la cui combinazione lineare è zero solo quando k = l = 0 sono detti vettori linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti. Intuitivo: se i vettori sono complanari essi sono linearmente dipendenti, in caso contrario linearmente indipendenti.


I vettori e sono linearmente indipendenti se, dati i numeri reali k, l ed m, la loro somma




è pari a 0 se e solo se k = 0, l = 0 ed m=0. In caso contrario i vettori sono linearmente dipendenti.



I vettori e sono linearmente indipendenti se e solo se sono complanari.



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Base del piano e base spaziale



Fino a questo punto abbiamo studiato:

  • che cosa è un vettore, la condizione di colinearità;

  • quali sono i vettori che non si trovano sullo stesso piano, ossia i vettori complanari.


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La base del piano è associata a due vettori non paralleli e , ma in generale può essere utilizzata per esprimere un qualunque vettore come combinazione lineare della base del piano:




dove .



Il vettore che si ottiene (ad esempio ) utilizzando i vettori di base (ad esempio e ) è chiamato sviluppo del vettore di base.


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La base spaziale è costituita da tre vettori diversi da zero e , che non si trovano sullo stesso piano. Un qualunque vettore nello spazio può essere espresso come combinazione lineare della base spaziale:




dove



Il vettore che si ottiene (ad esempio ) utilizzando i vettori di base (ad esempio e ) è chiamato sviluppo del vettore di base.


I vettori di base sono chiamati i componenti del vettore ottenuto.


Il numero dei vettori di base dipende dalla dimensione del sistema che si considera (nel piano cartesiano servono due vettori base; nel piano tridimensionale, ossia assi XYZ, occorrono tre vettori base, etc).



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La base può essere:


ortogonale se i vettori sono perpendicolari tra loro;

normale, se i vettori sono unitari;

ortonormale, se i vettori sono unitari e sono perpendicolari tra loro.



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redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto