Due vettori 
e 
sono colineari se sono paralleli o giacciono su linee parallele.
Se i vettori e sono colineari e se è diverso da zero, esiste un 
tale che:
Tre vettori sono complanari se giacciono sullo stesso piano.
Se i vettori 
e 
sono complanari, esistono 
tali che:
Una combinazione lineare di vettori è una somma di diversi vettori moltiplicata con numeri reali.
La combinazione lineare di due vettori 
e 
è scritta come:
dove k ed l sono due numeri reali.
Il risultato della combinazione lineare tra due vettori dipende non soltanto dai vettori ma anche dai valori dei numeri reali.
Nel caso in cui k = l = 0 la combinazione lineare dei vettori e è pari a zero:
I vettori la cui combinazione lineare è zero solo quando k = l = 0 sono detti vettori linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti.
Intuitivamente: i vettori sono linearmente dipendenti se sono paralleli, altrimenti sono linearmente indipendenti.
I vettori e sono linearmente indipendenti se, dati i numeri reali k ed l, la loro somma
è 0 solo quando k = 0 e l = 0. In caso contrario i vettori sono linearmente dipendenti.
I vettori e sono linearmente dipendenti se e solo se sono colineari.
Una combinazione lineare dei tre vettori 
e 
si esprime come la somma dei tre vettori moltiplicati per i numeri reali k, l ed m:
Il risultato della combinazione lineare tra tre vettori dipende non soltanto dai vettori ma anche dai valori dei numeri reali. Se k = l = m = 0 la combinazione lineare dei vettori e danno come risultato il vettore zero:
I vettori la cui combinazione lineare è zero solo quando k = l = 0 sono detti vettori linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti. Intuitivo: se i vettori sono complanari essi sono linearmente dipendenti, in caso contrario linearmente indipendenti.
I vettori e sono linearmente indipendenti se, dati i numeri reali k, l ed m, la loro somma
è pari a 0 se e solo se k = 0, l = 0 ed m=0. In caso contrario i vettori sono linearmente dipendenti.
I vettori e sono linearmente indipendenti se e solo se sono complanari.
Fino a questo punto abbiamo studiato:
che cosa è un vettore, la condizione di colinearità;
quali sono i vettori che non si trovano sullo stesso piano, ossia i vettori complanari.
La base del piano è associata a due vettori non paralleli e , ma in generale può essere utilizzata per esprimere un qualunque vettore come combinazione lineare della base del piano:
dove 
.
Il vettore che si ottiene (ad esempio ) utilizzando i vettori di base (ad esempio e ) è chiamato sviluppo del vettore di base.
La base spaziale è costituita da tre vettori diversi da zero e , che non si trovano sullo stesso piano. Un qualunque vettore nello spazio può essere espresso come combinazione lineare della base spaziale:
dove 
Il vettore che si ottiene (ad esempio 
) utilizzando i vettori di base (ad esempio e ) è chiamato sviluppo del vettore di base.
I vettori di base sono chiamati i componenti del vettore ottenuto.
Il numero dei vettori di base dipende dalla dimensione del sistema che si considera (nel piano cartesiano servono due vettori base; nel piano tridimensionale, ossia assi XYZ, occorrono tre vettori base, etc).
La base può essere:
ortogonale se i vettori sono perpendicolari tra loro;
normale, se i vettori sono unitari;
ortonormale, se i vettori sono unitari e sono perpendicolari tra loro.
