Addizione e sottrazione con i vettori fb
 

Operazioni con i vettori



Vettore spostamento



Consideriamo un punto A ed un secondo punto A'. Il vettore:




si chiama vettore spostamento.


Il modulo, la,direzione ed il verso del vettore spostamento sono quelli del vettore


Esempio

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Addizione e sottrazione di vettori



Addizione



Consideriamo due vettori e , come in Figura1.


Figura1: vettori e



Si definisce somma o addizione tra i due vettori il vettore tale che:




Dalla Figura2 possiamo notare che il vettore somma si ottiene congiungendo la "testa" del vettore con la "coda" del vettore (in figura corrispondono ai punti C ed A, rispettivamente).


Figura2: Somma dei vettori e



Se i due vettori sono disposti in modo da avere un punto di partenza comune (vedi Figura3), è possibile applicare la regola del parallelogramma. A partire dalla "testa" di ciascun vettore si traccia la parallela all'altro vettore. La somma dei vettori coincide con la diagonale del parallelogramma ottenuto.


Figura3: Regola del parallelogramma



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Proprietà dell'addizione tra vettori



Dalle proprietà di addizione e sottrazione dei numeri reali si derivano le seguenti operazioni con i vettori:


Proprietà associativa


L'addizione tra vettori gode della proprietà associativa:




valida per i vettori arbitrari e .



Proprietà commutativa


L'addizione tra vettori gode della proprietà commutativa:




valida per i vettori arbitrari e .



Elemento neutro nell'addizione o vettore zero


Sommando ad un vettore arbitrario il vettore il vettore iniziale non cambia:




Si dice anche che il vettore è l'elemento neutro nell'addizione tra vettori.



Legame tra Vettore opposto e vettore zero


Sommando ad un vettore il suo opposto si ottiene il vettore .




valida per il vettore arbitrario .



Sottrazione tra vettori



Siano dati i vettori e , come in Figura4.


Figura4



La sottrazione tra due vettori si ottiene sommando al primo vettore l'opposto del secondo vettore:




Graficamente possiamo notare che otteniamo il vettore opposto di mantenendo la stessa dimensione e direzione, ma cambiando il verso della freccia (nel nostro esempio il vettore va da destra verso sinistra) e successivamente si applica la regola dell'addizione tra vettori (vedi Figura5).


Figura5



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Equazione vettoriale



E' una equazione in cui l'incognita è un vettore. In pratica si opera allo stesso modo di una equazione in cui l'incognita è un numero. Si pone uno dei vettori come vettore incognito e si scrivono le relazioni che permettono di trovare tale vettore.


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Moltiplicazione di un vettore con uno scalare



Il prodotto di un vettore con il numero reale , diverso da zero, è il vettore con le seguenti caratteristiche:

  • stessa direzione e verso del vettore , se

  • verso opposto del vettore , se

  • modulo di




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Proprietà della moltiplicazione tra un vettore ed uno scalare



Dalle proprietà di addizione e sottrazione tra numeri reali si derivano le seguenti operazioni tra vettori:


Proprietà associativa


Dati due numeri reali k, l ed un vettore , la moltiplicazione gode della proprietà associativa:




Proprietà distributiva


Dato un numero reale k e due vettori , la moltiplicazione gode della proprietà distributiva:





Dati due numeri reali k, l ed un vettore :




Unità nella moltiplicazione


Moltiplicando un qualunque vettore con il numero 1 il vettore non cambia:




Vettore unitario


Il versore del vettore () ha la stessa direzione e verso del vettore e modulo pari a 1:




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redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto