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Trigonometria



La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.


Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Le funzioni trigonometriche di base e più comunemente utilizzati sono:



Convertire gli angoli da radianti in gradi e da gradi in radianti



Gli angoli del triangolo possono essere misurati con due misura differente:

  • in gradi:

    Il grado è la parte dell'angolo giro, oppure la parte dell'angolo retto.


    Il simbolo del grado è .


    II grado e` diviso in 60 parti uguali dette minuti primi. Il minuto primo si indica con ' ed è a sua volta diviso in 60 parti uguali dette minuti secondi. Il minuto secondo si indica con ". A sua volta il minuto secondo si divide in decimi di secondo, centesimi di secondo, millesimi di secondo, ecc.


  • in radianti:


    L’angolo giro è considerato . Un grado è considerato del totale dell'arco.


A causa delle differenti unità di misura per descrivere lo stesso concetto, le misure sono correlate in questo modo:






Per il calcolo utilizziamo un'approssimazione:




Convertire gli angoli da radianti in gradi



Formula per convertire gli angoli da radianti in gradi:




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Convertire gli angoli da gradi in radianti



Formula per convertire gli angoli da gradi in radianti:




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Cerchio unitario



Un cerchio unitario è il luogo dei punti che sono distanti 1 unità dall'origine. Lo utilizziamo per visualizzare il valore delle funzioni angolari.


Scriviamo in questo modo le coordinate di un qualunque punto sul cerchio unitario:




Cerchio unitario



Funzioni circolari per angoli notevoli



Disegniamo un angolo notevole, in questo caso , e nell'incrocio tra l’angolo e il cerchio unitario segniamo il punto, in questo caso C. Per ogni punto sulla circonferenza unitaria, sappiamo che le coordinate:

  • x = valore del coseno dell'angolo

  • y = valore del seno dell'angolo


Determinazione del seno e coseno del cerchio unitario



Ricondursi agli angoli acuti



Possiamo semplificare le formule per gli angoli che sono più grandi di e meno di



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Valori delle funzioni angolari degli angoli fondamentali



Angoli fondamentali sono:


  • multipli degli angoli di


  • multipli degli angoli di


    Valori come li troviamo solo alle bisettrici dei quadranti (questi angoli sono ).


Tabella dei valori di seno e coseno



I valori che dobbiamo ricordare sono elencati nella tabella seguente:



Quando si guarda la tabella determiniamo che i valori dei seno e coseno dal si ripetono:




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I valori degli altri angoli desumibili dalla tabella precedente:



Sulla base della tabella possiamo determinare il segno di seno e coseno nei vari quadranti (poiché il seno e coseno spostati di , possiamo osservare lo stesso spostamento anche nel segno):


Segni del seno nei quadranti



Segni del coseno nei quadranti



Tabella dei valori della tangente e cotangente



La tabella dei valori della tangente (tan x) e cotangente (cot x) si ottiene nel modo più semplice utilizzando le formule:







Quando guardiamo la tabella, troviamo che i valori della tangente e cotangente dopo i si ripetono:



Quando prendiamo in considerazione le relazioni fra funzioni e , facilmente scriviamo anche la tabella dei segni per la tangente e cotangente.


Segni per la tangente e cotangente nei quadranti



I valori delle funzioni trigonometriche degli angoli notevoli



Tutti i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli notevoli possiamo calcolarle con una calcolatrice. Sul cerchio unitario possiamo determinarli solo molto approssimativamente.


Relazioni fondamentali della goniometria



Relazioni fondamentali che utilizziamo per semplificare espressioni e risoluzione di equazioni trigonometriche:


  • Tangente e cotangente


    Dal materiale Funzioni tangente e cotangente già sappiamo la relazione:






  • Il teorema di Pitagora


    Anche dal materiale Funzioni seno e coseno già sappiamo il teorema di Pitagora :




  • Relazione tra coseno e tangente




    Possiamo con qualche calcolo dedurre rapidamente la relazione:



  • La relazione tra seno e cotangente




    Possiamo con qualche calcolo dedurre rapidamente la relazione:



Funzioni trigonometriche per angoli complementari



Due angoli sono complementari, quando vale:




Conversione coseno in seno:




Conversione seno in coseno:



Autore principale e redattore del materiale didattico: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.