Funzioni seno e coseno :: OpenProf.com

Si consideri un triangolo rettangolo: le funzioni seno e coseno in un triangolo rettangolo mettono in relazione l'angolo acuto ed i cateti del triangolo.

La funzione seno dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto opposto (a) e l'ipotenusa (c):

La funzione coseno dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto adiacente (b) e l'ipotenusa (c):

Nei capitoli seguenti vedremo come le funzioni seno e coseno siano uguali, con la differenza che sono tra loro distanziate di esattamente .

Da questo fatto deriva che sono tra loro distanziati di anche:

gli zeri;
i punti di massimo;
i punti di minimo.

Teorema di Pitagora

Dal teorema di Pitagora otteniamo la relazione tra seno e coseno. Dall'illustrazione in alto prendiamo i lati del triangolo rettangolo.

	Dividiamo l'equazione per
	Riorganizziamo l'equazione
	Notiamo che le espressioni sono esattamente la definizione di seno e coseno, per cui sostituiamo:

Il teorema di Pitagora espresso in un cerchio unitario tramite le funzioni seno e coseno:

Grafico delle funzioni seno e coseno

Tracciamo le funzioni seno e coseno in un cerchio unitario, ovvero di raggio pari ad 1:

Funzioni seno e coseno su un cerchio unitario

Tracciando le funzioni in un cerchio unitario semplifichiamo il calcolo delle due funzioni; il valore dell'ipotenusa c è pari a 1, il che semplifica le equazioni per seno e coseno in:

Il valore dell'angolo α si misura in radianti. Questo significa che il valore dell'angolo giro è 3.14159... e non 180°.

Nel tracciare la funzione seno riportiamo l'angolo α sull'asse x. Per questo nell'utilizzo del grafico per l'angolo α utilizziamo la designazione x.

Dal cerchio unitario possiamo raccogliere tutte le seguenti informazioni sulle funzioni circolari di particolari angoli:

Valori delle funzioni seno e coseno nel cerchio unitario

Valori delle funzioni seno e coseno

Concludiamo, dai valori di seno e coseno dal cerchio unitario possiamo disegnare grafici del seno e coseno.

Tracciamo la funzione seno. Sull'asse x mettiamo il valore dell'angolo α, sull'asse y il valore del seno:

Grafico del seno di base

Grafico del coseno di base

Campo di esistenza e valori della funzione di seno e coseno

Al campo di esistenza appartengono tutti gli che possiamo tracciare nel grafico. Sia per il seno che per il coseno il campo di esistenza è tutta la retta reale, ovvero: per qualsiasi angolo scelto la funzione avrà una soluzione.

Campo di esistenza delle funzioni seno e coseno è l'intero insieme dei numeri reali:

Dal grafico per seno e coseno su un cerchio unitario possiamo rilevare che i valori della funzione, ovvero tutti i possibili , sono: .

Valori della funzione su un cerchio unitario.

Zeri delle funzioni seno e coseno

Gli zeri di una funzione sono i punti dove la funzione interseca l'asse x.

Zeri della funzione seno

Gli zeri del seno si trovano ad ogni multiplo di , ovvero la funzione seno ha valore zero per gli angoli:

in altri termini:

Ricaviamo gli zeri del seno con l'enunciato:

La soluzione è:

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati

Registrati per vedere gli esempi »

Zeri della funzione coseno

Gli zeri del coseno si trovano ad ogni multiplo di , ovvero il coseno ha valore zero per gli angoli:

in altri termini:

Ricaviamo gli zeri del coseno coll'enunciato:

La soluzione è:

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati

Registrati per vedere gli esempi »

Punti di massimo e minimo delle funzioni seno e coseno

I punti di massimo dele funzioni seno e coseno sono i punti in cui la funzione raggiunge il valore massimo sull'asse y. I punti di minimo sono quelli in cui la funzione raggiunge il valore minimo sull'asse y.