Si prenda un triangolo rettangolo:
Triangolo rettangolo; il lato b è adiacente all'angolo α, il lato a è opposto
all'angolo α
Le funzioni tangente e cotangente in un triangolo retto mettono in relazione l'angolo acuto ed i cateti del triangolo:
La funzione tangente dell'angolo 
è definita come il rapporto tra il cateto opposto (a) e il cateto adiacente (b):
La funzione cotangente dell'angolo è definita come il rapporto tra il cateto adiacente (b) e il cateto opposto (a):
Tracciamo le funzioni tangente e cotangente su un cerchio unitario:
Funzioni tangente e cotangente su un cerchio unitario
I valori di tangente e cotangente sono meno facili da leggere con il cerchio unitario, per cui nel tracciamento ci aiuteremo con i valori di seno e coseno che già conosciamo (allargheremo la tabella e calcoleremo i valori da 
a 
), rendendo più facile il tracciamento della tangente e della cotangente.
Per il calcolo della tangente e cotangente utilizzeremo le formule:
Il valore dell'angolo α si misura in radianti. Questo significa che il valore dell'angolo giro è 3.14159... e non 180°.
Tracciamo la funzione tangente. Sull'asse x riportiamo il valore dell'angolo α, sull'asse y il valore della tangente:
Nel tracciare la funzione tangente riportiamo l'angolo α sull'asse x.
Ricaviamo i valori dalla tabella e li confrontiamo col grafico. I valori devono corrispondere:
Iniziamo leggendo dalla tabella il valore per l'angolo 
ricavandone il valore 
.
Il valore seguente di α preso in considerazione corrisponde a 
, il valore ricavato è 
.
Continuiamo con l'angolo 
, leggendovi il valore della tangente 
.
Con l'angolo 
leggiamo il valore 
.
All'angolo 
leggiamo il valore di tangente .
Quando l'angolo α è uguale a 
leggiamo dalla tabella il valore della funzione tangente, che è uguale a 
.
Quando aumentiamo l'angolo α sul cerchio unitario a 
la tangente raggiunge il valore di 
.
Aumentando l'angolo α a 
rileviamo il valore di tangente 
.
Aumentiamo l'angolo α a 
, rileviamo il valore di tangente 
, da qui in avanti i valori si ripetono e possiamo concludere che la tangente si ripete ogni 
.
Abbiamo completato un cerchio intero; se ne facciamo un altro gli stessi passi si ripeteranno. La funzione si ripete visibilmente ad intervalli di .
è pertanto il periodo della funzione.
La funzione tangente è periodica con periodo . Sul grafico è facile rilevare la periodicità ed il ripetersi della funzione.
Nel tracciare la funzione cotangente riportiamo l'angolo α sull'asse x.
Analogo procedimento si ripete nel caso della cotangente - leggiamo i valori dalla tabella confrontandoli col grafico - i valori devono corrispondere.
Iniziamo leggendo il valore in tabella per l'angolo ricavandone il valore .
Il valore seguente di α che prendiamo in considerazione equivale a , leggiamo dunque il valore .
Continuiamo con l'angolo , leggiamo il valore della cotangente .
All'angolo leggiamo il valore 
.
Per l'angolo leggiamo il valore della cotangente .
Quando l'angolo α è uguale a leggiamo dalla tabella il valore della funzione cotangente, che equivale a .
Quando aumentiamo l'angolo α sul cerchio unitario a , la cotangente raggiunge il valore di .
Quando aumentiamo l'angolo α a leggiamo il valore della cotangente .
Aumentiamo l'angolo α a , leggiamo il valore della cotangente 0, da qui in poi i valori iniziano a ripetersi e possiamo concludere che la cotangente si ripete ogni .
Abbiamo portato a termine un cerchio completo; se ne facciamo un altro gli stessi passi si ripeteranno. La funzione visibilmente si ripete ogni .
è pertanto il periodo della funzione.
La funzione cotangente è periodica con periodo . Sul grafico è facile visualizzare la periodicità ed il ripetersi della funzione.
Le proprietà delle due funzioni sono facilmente ricavabili dal grafico. Ira descriveremo le proprietà che abbiamo rilevato dal grafico anche in termini matematici.
Al dominio di una funzione appartengono tutti gli x che possiamo tracciare sul grafico e per i quali esiste la funzione.
Tangente e cotangente sono definiti come frazioni. Sappiamo che una frazione non può esistere (non è definita) se il denominatore è uguale a 0, per cui elimineremo dal dominio tutti quei valori di funzione che presentano un valore del denominatore di 0. Chiameremo questi valori poli o asintoti verticali.
I valori della funzione sono tutti gli y presenti nel grafico.
La funzione tangente è definita come
La tangente presenta i poli esattamente quando è 
(zeri del coseno), e questo si ha ogni:
Dominio della funzione tangente è tutto l'asse reale x senza 
, ovvero:
Dal grafico della funzione tangente e dalla tabella possiamo osservare che l'arco dei valori della funzione è 
.
Valori della funzione tangente:
La funzione cotangente è definita come
La cotangente presenta i poli esattamente quando è 
(zeri del seno), e questo si ha ogni
Il dominio della funzione cotangente è tutto l'asse reale x senza 
.
Al dominio appartengono tutti gli y presenti nel grafico. Dal grafico della funzione cotangente e dalla tabella possiamo osservare che l'arco dei valori della funzione è .
Valori della funzione cotangente:
Gli zeri della funzione sono quei punti dove la funzione interseca l'asse x.
Gli zeri della tangente si trovano ad ogni multiplo di , ovvero la funzione tangente ha valore zero per gli angoli:
In altre parole:
Ricaviamo gli zeri della tangente con l'enunciato:
La soluzione dell'enunciato è:
Gli zeri della cotangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del coseno).
o in altre parole:
Ricaviamo gli zeri della cotangente con l'enunciato:
La soluzione dell'enunciato è:
I poli della tangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del coseno), ovvero la tangente per questi valori non esiste (non è definita).
o in altre parole:
Ricaviamo i poli della tangente con l'enunciato:
La soluzione dell'enunciato è:
I poli della cotangente si trovano ad ogni multiplo di (zeri del seno):
o in altre parole:
Ricaviamo i poli della cotangente con l'enunciato:
La soluzione dell'enunciato è:
La funzione è pari se è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate, ovvero:
La funzione è dispari se simmetrica rispetto all'asse y:
Per la funzione tangente vale:
come possiamo verificare dal grafico (la funzione è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate). La funzione è evidentemente dispari.
Per la funzione cotangente vale:
come possiamo verificare dal grafico (la funzione è simmetrica rispetto all'origine delle coordinate). La funzione cotangente è evidentemente dispari.
La crescita della tangente è facilmente rilevabile dal grafico. La funzione cresce per tutto il 
.
Anche la decrescita della cotangente è facile da verificare. La cotangente decresce per tutto il .
Le funzioni tangente e cotangente sono periodiche con periodo . Possiamo facilmente vedere questa periodicità/ripetizione nel grafico.
Vale:
La funzione tangente è periodica con periodo .
e
La funzione cotangente è periodica con periodo .
Le funzioni tangente e cotangente sono discontinue. Nel grafico lo vediamo nei punti in cui si "interrompono" in corrispondenza dei poli.
