Un poligono di n lati è una figura che ha per contorno n segmenti consecutivi, detti i lati del poligono, che hanno a due a due in comune n punti detti i vertici.

Un poligono regolare di n lati è una figura geometrica con n vertici, n lati di uguale lunghezza e n angoli congruenti tra di loro.


Esempio

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Un poligono regolare è sempre una figura convessa.

Man mano che aumenta il numero n dei lati di un poligono regolare, tendendo all'infinito, la figura si avvicina sempre di piu a un cerchio.


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Elementi caratteristici di un poligono di n lati



Diagonali



Una diagonale è un segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono di n lati.



nel pentagono STUVW in figura, il segmento VT è una diagonale, mentre i segmenti SZ e ZA non sono diagonali



Le diagonali di un poligono convesso si trovano sempre all'interno della figura. Quindi le diagonali di un poligono regolare di n lati sono tutte interne al poligono.


Ma quante sono le diagonali di un poligono di n lati?

Proviamo a contarle ragionando in questo modo:


  • da ogni vertice possiamo tracciare n-3 diagonali. I vertici non consecutivi sono infatti proprio n-3, poichè dal numero ndi vertici dobbiamo togliere il vertice da cui partiamo e i due ad esso consecutivi.


  • ripetendo l'operazione in ciascuno degli n vertici, possiamo moltiplicare per n il numero delle diagonali tracciate: avremmo diagonali.


  • se consideriamo che ogni diagonale congiunge due vertici distinti, con il calcolo precedente avremo contato ogni diagonale due volte: il numero effettivo delle diagonali è quindi la metà del numero di segmenti calcolati prima:


quindi


In ogni poligono (anche non regolare), il numero delle diagonali dipende soltanto dal numero n dei lati e vale:




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Angoli interni



Un poligono regolare di n lati ha n angoli interni, tutti congruenti tra di loro.


Per calcolare l'ampiezza degli angoli interni di un poligono regolare, possiamo chiederci prima di tutto se è possibile conoscere quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono di n lati.


Sappiamo ad esempio che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°. Possiamo quindi chiederci se anche la somma degli angoli interni di un poligono di n lati abbia un valore definito.


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Il procedimento applicato per l'ettagono nell'esempio, si può ripetere per qualunque tipo di poligono, anche non regolare. Scopriamo quindi che


la somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati dipende solo dal numero dei lati ed è data dalla formula:




Nel caso di un poligono regolare, conoscendo la somma degli angoli interni possiamo calcolare anche il valore di ciascuno degli angoli interni. Basterà infatti dividere la somma per il numero n dei lati:




In un poligono regolare di n lati, l'ampiezza degli angoli interni dipende solo dal numero dei lati ed è data dalla formula





Angoli esterni



Un poligono convesso di n lati ha n angoli esterni, definiti come gli angoli supplementari a ciascun angolo interno.


Per disegnare l' angolo esterno relativo a un vertice del poligono basta quindi prolungare un lato del poligono a partire da quel vertice, e considerare l'angolo convesso formato da tale prolungamento con l'altro lato relativo al vertice stesso.


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Ogni angolo esterno è supplementare al relativo angolo interno. Ma quanto vale la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati?


Abbiamo visto che la somma degli angoli interni è pari a . Possiamo allora ragionare in questo modo:


  • Osserviamo che la somma di tutti gli angoli esterni e di tutti gli angoli interni forma n angoli piatti (vedi esempio).


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  • Se chiamiamo la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati e la somma dei suoi angoli interni, possiamo scrivere:


  • Ricordando che , ne deduciamo che qualunque sia il numero n dei lati.


La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono convesso di n lati non dipende dal numero dei lati e vale sempre 360°.


In formule:




Nel caso di un poligono regolare, possiamo conoscere la misura di ciascun angolo esterno, dividendo l'angolo giro per il numero dei lati del poligono:


In un poligono regolare di n lati, tutti gli angoli esterni sono congruenti tra di loro e hanno ampiezza





Altre caratteristiche dei poligoni regolari



Apotema e raggio della circonferenza circoscritta



Un poligono regolare di n lati è sempre circoscrivibile e inscrivibile a una circonferenza.


I centri delle circonferenze inscritta e circoscritta al poligono regolare coincidono e rappresentano il punto di intersezione degli assi di simmetria della figura.


Possiamo quindi parlare semplicemente di centro del poligono, con il quale possiamo intendere

  • il centro della circonferenza inscritta

  • il centro della circonferenza circoscritta

  • il punto di intersezione degli assi di simmetria


Apotema



Il raggio della circonferenza inscritta ha una particolare importanza nello studio dei poligoni regolari e viene chiamato apotema del poligono.


L' apotema di un poligono regolare di n lati è il segmento di perpendicolare che congiunge il centro del poligono con il punto medio di un suo lato.



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In generale, il valore , dove è l'angolo interno del poligono, rappresenta il fattore di proporzionalità tra l'apotema e il lato di un qualunque poligono regolare, e dipende soltanto dal numero dei lati del poligono. Questo fattore è indicato con ed è chiamato il numero fisso del poligono. Una tabella dei numeri fissi permette di calcolare rapidamente l'apotema di un poligono conoscendo il lato e viceversa.


Il rapporto tra l'apotema e il lato di un poligono regolare dipende soltanto dal numero n dei lati e vale




è chiamato numero fisso del poligono di n lati.



Valori (approssimati alla quinta cifra decimale) del numero fisso per ciascun tipo di poligono sono dati nella seguente tabella dei numeri fissi:



La tavola dei numeri fissi permette di calcolare il lato di un poligono regolare conoscendo l'apotema e viceversa:


Il lato e l'apotema di un poligono regolare di n lati sono legati dalla relazione:




dove è il numero fisso del poligono considerato.



Raggio della circonferenza circoscritta



Il segmento che congiunge il centro del poligono regolare con uno qualunque dei suoi vertici rappresenta il raggio della circonferenza circoscritta.

La sua lunghezza può essere dedotta a partire dal lato e dall'apotema del poligono applicando il teorema di Pitagora.


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Perimetro e area di un poligono regolare



Perimetro di un poligono regolare di n lati



Ricordiamo che in generale il perimetro di un poligono è dato dalla somma delle lunghezze dei suoi lati.

Poichè un poligono regolare di n lati ha tutti i lati congruenti, potremo esprimere il suo perimetro come n volte la lunghezza del suo lato:




Area di un poligono regolare di n lati



Abbiamo detto che un poligono regolare è sempre circoscritto a una circonferenza di raggio (apotema del poligono).

Congiungendo i vertici del poligono con il suo centro, possiamo quindi scomporre la figura in n triangoli isosceli di base e altezza (vedi figura).


possiamo scomporre il decagono in dieci triangoli isosceli di base e altezza



L'area del poligono può essere quindi pensata come la somma delle aree di n triangoli di lato e altezza :




Possiamo osservare che corrisponde al perimetro del poligono.


Il prodotto è quindi il semiperimetro .


Si ha quindi che:


l'area di un poligono regolare di n lati è data dalla formula:




dove è il semiperimetro e è l'apotema del poligono



E' poi possibile abbreviare ulteriormente i calcoli, ricordando che sia sia dipendono dalla misura del lato .


E' possibile allora definire un secondo numero fisso per l'area del poligono, anche se non è indispensabile conoscerlo in quanto deriva dal numero fisso dell'apotema.


redattore del materiale didattico: OpenProf.com