Limiti notevoli fb
 

Limiti di funzioni trigonometriche



In questo capitolo prenderemo in considerazione le seguenti funzioni trigonometriche:



Limiti delle funzioni seno e coseno



Consideriamo i seguenti tipi di limiti:


  • limite in un determinato punto (ad esempio )

  • limite all'infinito.


Limite della funzione in un punto



Sappiamo che il limite di una funzione nel punto è:




Considerando i grafici delle funzioni seno e coseno, sappiamo che si tratta di funzioni che sono continue in tutta l'area di calcolo, pertanto per i loro limiti valgono:


Limite della funzione seno in un punto:




Limite della funzione coseno in un punto:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Limite fondamentale della funzione seno



Particolarmente interessante è il limite seguente:




In questo caso, per x=0, avremmo:




La funzione non è dunque definita nel punto x=0, tuttavia il limite della funzione per x che tende a zero è:




Dimostriamo quanto detto aiutandoci con la seguente rappresentazione grafica:




Nel cerchio unitario, consideriamo l'arco di lunghezza x che si oppone all'angolo x (in radianti). Consideriamo ora la disuguaglianza:




Tale disuguaglianza sussiste in quanto, come si vede dalla figura, l'arco x è proprio compreso tra la funzione e la funzione .




Abbiamo dunque dimostrato il valore di questo limite fondamentale che può essere utile alla risoluzione di diversi problemi:


Il limite della funzione




per x che tende a 0 è uguale a 1


ovvero:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Limite all'infinito



Sappiamo che un limite all'infinito è del tipo:




Sappiamo anche che le funzioni seno e coseno oscillano tra -1 e 1, per cui possiamo affermare quanto segue:


Non possiamo parlare di limiti all'infinito per le funzioni seno e coseno in quanto oscillano tra i valori -1 e 1, ovvero i limiti:




e




non esistono.



Limiti delle funzioni tangente e cotangente



Considerando i grafici delle funzioni tangente e cotangente, possiamo affermare quanto segue:


Tangente e cotangente sono funzioni continue a tratti, soggette alle seguenti condizioni:






Il limite




non esiste, in quanto per x che tende a da sinistra la funzione tende all'infinito, mentre quando x tende a da destra la funzione tende a meno infinito. Lo stesso accade per la funzione cotangente tra i valori e .


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »

redattore del materiale didattico: Carmine Albanese