Limiti di funzioni trigonometriche

In questo capitolo prenderemo in considerazione le seguenti funzioni trigonometriche:

Consideriamo i seguenti tipi di limiti:

Sappiamo che il limite di una funzione nel punto è:

Considerando i grafici delle funzioni seno e coseno, sappiamo che si tratta di funzioni che sono continue in tutta l'area di calcolo, pertanto per i loro limiti valgono:

Particolarmente interessante è il limite seguente:

In questo caso, per x=0, avremmo:

La funzione non è dunque definita nel punto x=0, tuttavia il limite della funzione per x che tende a zero è:

Dimostriamo quanto detto aiutandoci con la seguente rappresentazione grafica:

Nel cerchio unitario, consideriamo l'arco di lunghezza x che si oppone all'angolo x (in radianti). Consideriamo ora la disuguaglianza:

Tale disuguaglianza sussiste in quanto, come si vede dalla figura, l'arco x è proprio compreso tra la funzione e la funzione .

Abbiamo dunque dimostrato il valore di questo limite fondamentale che può essere utile alla risoluzione di diversi problemi:

Sappiamo che un limite all'infinito è del tipo:

Sappiamo anche che le funzioni seno e coseno oscillano tra -1 e 1, per cui possiamo affermare quanto segue:

Considerando i grafici delle funzioni tangente e cotangente, possiamo affermare quanto segue:

Il limite

non esiste, in quanto per x che tende a da sinistra la funzione tende all'infinito, mentre quando x tende a da destra la funzione tende a meno infinito. Lo stesso accade per la funzione cotangente tra i valori e .