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Interesse e Capitalizzazione



Nella vita quotidiana si ha a che fare spesso con prestiti o investimenti che possono maturare periodicamente degli interessi.


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In questo capitolo svilupperemo con strumenti matematici elementari l'argomento.


Prestazioni finanziarie



Una prestazione finanziaria è un importo monetario datato cioè una coppia ordinata (C , t) dove C è l'importo e t l'istante di tempo in cui esso è "avvenuto".


Se C > 0 allora è un entrata, mentre se C < 0 è un costo (una spesa).


Due prestazioni sono equivalenti quando non abbiamo una preferenza nel sceglierne una o l'altra:




Se invece preferiamo la prima:




Diamo alcuni punti di partenza per dedurre delle condizioni sull'equivalenza e l'ordine:


  • Un importo nullo non altera mai in nessun modo la situazione finanziaria ovvero non fa differenza se ieri, oggi o domani non ho affrontato nessuna :


  • Più denaro posseggo ad un certo istante più sto bene:


  • Meglio avere entrate prima e costi poi:


Segue che, se due prestazioni con e sono equivalenti, allora


Le regole che stabiliscono l'equivalenza tra prestazioni si chiamano regimi finanziari: date due prestazioni con 3 quantità note su 4, sono le regole per determinarne la rimanente in maniera tale che .


Capitalizzazione e Attualizzazione



Date due prestazioni equivalenti:




si chiama capitalizzazione la determinazione di mediante , mentre l'attualizzazione è la determinazione di mediante .


Più precisamente capitalizzazione è determinare la funzione:




Mentre attualizzazione è determinare la funzione:




Risulta più semplice supporre che se due prestazioni sono equivalenti allora rimangano tali moltiplicandole per la stessa costante strettamente positiva.




ovvero i capitali sono proporzionali:




La funzione U dipendente solo dagli istanti si chiama fattore montante.


Vediamo un esempio.


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Risulta ancora più semplice supporre che due prestazioni siano equivalenti allora rimangano tali traslandole nel futuro o nel passato di uno stesso intervallo di tempo.




ovvero il fattore montante dipende solo dalla distanza degli istanti :




Riscrivendo l' uguaglianza esplicitando otteniamo:




La funzione v si chiama fattore di sconto.


Fattore di sconto e fattore montante sono strettamente legati:




Vediamo un esempio.


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Capitale, Montante, Interesse



Si chiama capitale iniziale un importo all'istante t = 0 ovvero le coppie (C, 0), mentre un importo incognito M nel futuro (t > 0) si chiama montante che dipende in generale dall'instante in cui è considerato (M = M(t)).


Un montante M al tempo t di capitale iniziale C è equivalente ad esso:




e come dedotto al capitolo iniziale si ha M > C.


Si chiama interesse la differenza tra montante e capitale iniziale:




Si chiama tasso d'interesse il rapporto tra l'interesse maturato ed il suo capitale iniziale:




spesso tale quantità è espressa come percentuale.


Regimi finanziari



I regimi finanziari più usati sono:


  • Ad interesse semplice o lineare: il fattore montante è una funzione affine ovvero l'interesse è direttamente proporzionale al tempo trascorso


  • Ad interesse composto: il fattore montante è una funzione esponenziale ovvero l'interesse è funzione esponenziale del tempo trascorso


  • Ad interesse anticipato: il fattore montante è una funzione iperbolica ovvero l'interesse è funzione razionale crescente del tempo trascorso


Nei capitoli che seguono dedurremo delle formule esatte, ma negli esempi i risultati saranno approssimati a 2 cifre decimali, quindi alcune verifiche saranno soggette ad errori.



Interesse lineare



In questo regime finanziario l'interesse è direttamente proporzionale al tempo trascorso


L'interesse I di un capitale iniziale C con regime lineare a tasso d'interesse i all'istante t è dato da:




quindi il montante all'instante t è dato da:




L'andamento è rappresentato in un diagramma cartesiano di variabili tempo - montante da una retta.




Vediamo un esempio.


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Interesse composto



Nel regime lineare non c'è la possibilità di convertire in capitale gli interessi maturati ed aggiungerlo a quello iniziale, mentre nel regime esponenziale avviene ciò.


A seconda che la capitalizzazione sia calcolata annualmente o più frequentemente si dice annua o frazionata.


Capitalizzazione annua



Supponiamo che alla fine di ogni anno l'interesse maturato sia convertito in capitale ed aggiunto a quello iniziale:




Inoltre l'interesse è lineare e calcolato sul capitale accumulato:




Il prospetto dei capitali e degli interessi.



L'interesse I annuale di un capitale iniziale C con regime composto a tasso d'interesse i dopo t anni è dato da:




quindi il montante (o il nuovo capitale) nell'anno t è dato da:




Vediamo un esempio.


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Capitalizzazione frazionata



Spesso le banche non calcolano l'interesse maturato annualmente, ma semestralmente,mensilmente, giornalmente, ecc.


Se la conversione degli interessi è applicata ogni -esimo di anno e il tasso d'interesse è frazionato per la stessa quantità allora dopo un anno il montante è:




mentre dopo t anni diventa:




L'interesse I frazionato in k periodi di un capitale iniziale C con regime composto a tasso d'interesse frazionato dopo t anni è dato da:




quindi il montante (o il nuovo capitale) dopo t anni è dato da:




Vediamo un esempio.


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L'andamento in entrambi i casi è rappresentato in un diagramma cartesiano di variabili tempo - montante da una poligonale.




Capitalizzazione continua



Nel capitolo precedente abbiamo visto il montante di un capitale C a regime composto con tasso d'interesse i applicato ogni -esimo di anno:




Cosa succede se volessimo aumentare arbitrariamente le suddivisioni, cioè sapere in qualunque istante il montante?


Nel capitolo dedicato abbiamo incontrato il numero di Nepero e la funzione esponenziale:




Applichiamo tale limite al nostro caso:




Quindi il montante "istantaneo" ha andamento esponenziale.


Il montante "istantaneo" di un capitale C a capitalizzazione continua con tasso d'interesse i è dato da:




Il montante dopo t anni risulta:




Vediamo un esempio.


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L'andamento è rappresentato in un diagramma cartesiano di variabili tempo - montante da una curva esponenziale per la capitalizzazione continua e una poligonale per quella composta.




Interesse anticipato



Una soluzione possibile per incassare subito una cambiale di valore nominale N all'epoca t è quello di attualizzare tale valore.


Per incassare in anticipo il valore effettivo del titolo finanziario posseduto ci rivolgiamo ad un istituto di credito che ci pagherà il valore attuale in attesa di ritornare in possesso - allo scadere del titolo - della somma N.


La differenza tra il valore attuale A e la somma disponibile N si chiama sconto:




Esso coincide come valore all'interesse, ma si differisce da esso in quanto i ruoli di N e A non sono di montante futuro e capitale iniziale, ma di valore nominale e valore attuale.


La banca che si incarica di anticiparci i soldi, applica uno sconto al valore nominale e nel caso più semplice esso è proporzionale - come l'interesse lineare - alla scadenza:




Similmente al tasso d'interesse i, la costante d si chiama tasso di sconto:




Riscriviamo le formule precedenti in termini di sconto, valore nominale e valore attuale.


Il valore nominale N con regime iperbolico a tasso di sconto d all'istante t di un titolo di valore attuale A è dato da:




quindi il fattore di sconto all'instante t è dato da:




Vediamo un esempio.


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redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin