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I radicali



Un radicale - o radice - è l'operazione matematica inversa dell'elevamento a potenza. Lo scriviamo in questo modo:




Vediamo la relazione tra una radice e la sua operazione inversa, l'elevamento a potenza.




Vediamo la stessa cosa in un esempio.


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Anche se aumenta l'indice della radice, non cambia il concetto.


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Radici particolari



Vediamo alcuni casi di radici particolari:

  • radice quadrata;

  • radice cubica;

  • radice con indice 1;


Radice quadrata



La radice di indice 2 è detta radice quadrata e si indica senza esplicitare l’indice.




Possiamo scrivere la radice quadrata omettendo l'indice 2.




Radice cubica



La radice di indice 3 è detta radice cubica:




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Radice con indice 1



La radice di indice 1 può essere omessa, perchè un un numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso.




Indice dei radicali



E' molto importante considerare l'indice dei radicali, soprattutto se il radicando è negativo. Abbiamo due casi:

  • radicali con indice pari;

  • radicali con indice dispari;


Radicali con indice pari



Se la radice ha indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.




Esempio

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Radicali con indice dispari



Se la radice ha indice dispari il radicando può essere anche negativo.


Esempio

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Proprietà invariantiva



Il valore di un radicale non cambia se si moltiplicano indice della radice ed esponente del radicando per uno stesso numero, escluso lo 0.




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Semplificazione di un radicale



Un radicale si dice irriducibile se l'indice e l'esponente del radicando sono primi tra loro (cioè non si possono semplificare).


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Semplificare un radicale significa trasformarlo in un radicale irriducibile, applicando la proprietà invariantiva, cioè dividendo indice ed esponente per il loro M.C.D.


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Ci sono alcune difficoltà in più con i radicandi letterali.


Se il radicando è letterale, è necessario imporre sempre la sua positività con l'uso dei valori assoluti.




Riduzione di più radicali allo stesso indice



Per ridurre due o più radicali irriducibili allo stesso indice si procede nel modo seguente:

  • si determina il minimo comune indice (m.c.i.) e si assume come indice comune ai radicali dati;

  • come per il minimo comun denominatore, si moltiplicano i vari esponenti dei radicandi;


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Operazioni tra radicali



Le operazioni che si possono fare tra i radicali sono:

  • moltiplicazione;

  • divisione;

  • potenza;

  • radice di radice;

  • somma algebrica;


Moltiplicazione



Si distinguono due casi, a seconda dell'indice dei due radicali.

  • stesso indice: il risultato è un radicale che mantiene l'indice e ha come radicando il prodotto dei radicandi;

  • indice diverso: bisogna prima ridurli allo stesso indice e poi eseguire la moltiplicazione;




Esempio

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Divisione



Si distinguono due casi, a seconda dell'indice dei due radicali.

  • stesso indice: il risultato è un radicale che mantiene l'indice e ha come radicando il prodotto dei radicandi;

  • indice diverso: bisogna prima ridurli allo stesso indice e poi eseguire la divisione;




Esempio

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Potenza



Per elevare ad una potenza un radicale basta elevare a quella potenza il radicando.




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Radice di radice



La radice n-esima di una radice m-esima è una radice nm-esima.




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Somma algebrica



La somma algebrica di due radici simili è una radice simile a quelle di partenza avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.




Esempio

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La somma algebrica dei radicali è quindi molto simile a quella dei monomi.


Due radicali sono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.




In questo caso infatti la somma non si può eseguire perché i radicali non sono simili.



Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice



Ricordiamo la moltiplicazione tra radici:




Questo può servirci per portare qualche fattore fuori dalla radice. Immaginiamo di avere una situazione tipo:




Avendo dentro la radice quadrata un fattore elevato alla seconda possiamo possiamo portarlo fuori dalla radice.


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Quando si portano fuori radice termini letterali occorre farlo con molta attenzione, infatti:

se l'indice n è pari, il radicando che viene portato fuori, dovrà imporsi positivo, quindi è bene estrarlo in valore assoluto;

  • se l'indice n è dispari, non occorre farlo, perché in questo caso, avere un radicando positivo o negativo sarà del tutto indifferente.



  • Il trasporto fuori radice può risultare utile per eseguire una somma di radicali.


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    Trasporto di un fattore sotto il segno di radice



    Per portare sotto radice un fattore occorre elevarlo ad una potenza uguale all'indice della radice. Dobbiamo stare attenti all'indice della radice, se ci troviamo di fronte a fattori negativi da portare sotto radice.




    Nel caso di indice dispari non ci sono particolari problemi.


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    Nel caso di indici pari dobbiamo prestare attenzione. Nel caso in cui fuori dalla radice si trovi un fattore negativo possiamo trasportare sotto il segno di radice il suo valore assoluto lasciando fuori il segno "-"


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    Razionalizzazione del denominatore di una frazione



    La razionalizzazione è la trasformazione di una frazione contenente radicali al denominatore in un’altra equivalente priva di radicali al denominatore.


    Per razionalizzare una frazione si moltiplica il numeratore e il denominatore per una stessa espressione il cui valore numerico è 1 e la cui scelta dipende dalla forma del denominatore che si vuole razionalizzare.




    Radicale quadratico



    Con un radicale del tipo al denominatore dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale quadratico che figura a denominatore, cioè


    Esempio

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    Radicale non quadratico



    In caso di denominatore del tipo , si distinguono due casi:

    • quando , occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale

    • quando , prima di razionalizzare, è opportuno operare il trasporto fuori radice come visto nei paragrafi precedenti.


    Esempio

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    Somma o differenza di radicali quadratici



    Se il denominatore è del tipo occorrerà moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato


    Analogo procedimento si adotta anche quando al denominatore si presentano forme del tipo oppure


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    Potenze ad esponente frazionario



    Possiamo indicare un radicale con una potenza avente:

    • base uguale al radicando;

    • come esponente una frazione con al numeratore l'esponente del radicando ed al denominatore l'indice della radice.


    Vediamo come sono definite le potenze ad esponente frazionario.


    In generale, se:




    le potenze ad esponente frazionario sono così definite:






    Esempio

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    Sfruttando la seconda definizione, deduciamo che il reciproco di una potenza si ottiene banalmente cambiando il segno al suo esponente. Vediamo un esempio.


    Esempio

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    Equazioni irrazionali



    Un'equazione è irrazionale se, almeno una volta, l'incognita figura sotto il segno di radice. Per risolverla occorre trasformarla in un'altra equazione equivalente non contenente radicali mediante elevamenti a potenza di ambo i membri.


    Quindi, considerando come esempio P(x) e T(x) due qualsiasi polinomi, in presenza di un'equazione del genere




    Si elevano al quadrato entrambi i membri e l'equazione da risolvere diventa:



    Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesca Martorana