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Valori assoluti



Il valore assoluto di un numero reale è una funzione matematica elementare che rappresenta la distanza di un punto dall'origine (il punto 0) sulla retta reale.


Il valore assoluto di un numero si indica con due barre laterali:


Sappiamo che la misura di una distanza (nel nostro caso dall'origine) non è mai un numero negativo, per cui il valore assoluto di un numero è sempre un numero non negativo.


Per un valore assoluto quindi vale che:


  • il valore assoluto di un numero positivo è uguale al numero stesso


  • il valore assoluto di un numero negativo è uguale all'opposto del numero


  • il valore assoluto del numero 0 è uguale a 0



Matematicamente possiamo esprimere quanto detto come:




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Disuguaglianze con valore assoluto



Per a e b, due numeri reali arbitrari, valgono le seguenti condizioni:


  • è vero se e solo se




  • è vero se e solo se




    o




Proprietà del valore assoluto



Il valore assoluto di un numero reale ha le seguenti proprietà:


  • Il valore assoluto di un numero a è positivo o uguale a 0:




  • Il valore assoluto è uguale a 0 esattamente quando a=0:




  • I punti a e -a si trovano alla stessa distanza dall'origine quindi il loro valore assoluto è lo stesso. Tale uguaglianza deriva dalla definizione stessa di valore assoluto:




  • Il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti:




  • Il valore assoluto di un quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti:




  • Il valore assoluto di una somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti. Questa proprietà viene chiamata disuguaglianza triangolare:




    Di conseguenza, vale anche che:




Significato geometrico del valore assoluto



Il valore assoluto è di particolare interesse in geometria per due sue possibili applicazioni:


Distanza del punto a



Sulla retta reale, |a| è la distanza del punto a dall'origine degli assi cartesiani.



Graficamente, ciò è rappresentato da:




o da:




Distanza tra i punti a e b



Con l'aiuto del valore assoluto possiamo calcolare la distanza tra due punti a e b. Innanzitutto, per la definizione di valore assoluto, non abbiamo bisogno di stabilire quale dei due punti è maggiore dell'altro, perché sappiamo che il valore assoluto di un numero è sempre un numero non negativo, per cui vale:




Dal punto di vista matematico possiamo quindi affermare che:


La distanza tra due punti a e b è uguale a:




Graficamente, ciò è rappresentato da:




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redattore del materiale didattico: Carmine Albanese