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Uso delle derivate



In questo capitolo analizziamo come si possono utilizzare le derivate.


Determinazione della tangente alla curva e della normale alla curva



Determinazione della tangente alla curva



Data la funzione ed il punto vogliamo determinare la tangente alla curva.


Supponendo di conoscere la funzione ed il punto , possiamo scrivere:



L'equazione della tangente alla curva nel punto è:




Esempio

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Determinazione della normale alla curva



Data la funzione ed il punto è possibile calcolare la normale alla curva.


La normale alla curva è perpendicolare alla tangente alla curva passante per il punto dato, per cui la pendenza della normale è pari all'opposto del reciproco alla pendenza della tangente, cioè:




dove si indica con la pendenza della normale, mentre con la pendenza della tangente.


Supponendo di conoscere la funzione ed il punto , possiamo scrivere:



In definitiva l'equazione della normale alla curva nel punto è:




Esempio

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Utilizzo della derivata per calcolare gli angoli



Calcolo dell'angolo tra una curva e l'asse della ascisse



Utilizzando il concetto di derivata è possibile calcolare l'angolo formato da una curva e l'asse delle x.


Basta considerare l'intersezione della curva con l'asse delle ascisse (in figura il punto ) e calcolare l'angolo formato dalla tangente alla curva nel punto e l'asse delle x.





Dalla teoria sulle derivate sappiamo che l'angolo cercato è pari al coefficiente angolare della tangente alla curva:






L'angolo formato da una curva e l'asse delle x è:




Esempio

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Calcolo dell'angolo tra una curva e l'asse della ordinate



Utilizzando il concetto di derivata è possibile calcolare l'angolo formato da una curva e l'asse delle y.


Si ricorda dalla geometria che:


Due angoli sono complementari se la loro somma è pari a 90°.


Dal grafico si può notare come gli angolo (angolo tra la curva e l'asse delle x) e (angolo tra la curva e l'asse delle y) sono complementari:


Angoli complementari



Per la complementarietà si ha quindi:




e sapendo calcolare (paragrafo precedente) è possibile trovare .


Esempio

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Angolo tra due curve



Lo scopo di questo paragrafo è trovare l'angolo racchiuso tra l'intersezione di due curve.


L'angolo cercato è quello che si forma tra le tangenti alle curve calcolate nel punto di intersezione delle curve stesse.


Vediamo il tutto graficamente:






Tale angolo si può calcolare con la seguente formula:




dove è il coefficiente angolare della prima tangente ed è il coefficiente angolare dell'altra tangente.


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Determinazione della crescenza, decrescenza e dei punti di flesso



Quando si traccia il grafico di una funzione, occorre essere quanto più accurati possibile.


In particolare occorre trovare gli intervalli in cui la funzione cresce, quelli in cui la funzione decresce ed anche i cosiddetti punti stazionari, che saranno analizzati più in dettaglio nel paragrafo successivo.


Partiamo effettuando un esempio:


Esempio

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Dall'esempio appena svolto notiamo che la funzione tende a decrescere per x<0, successivamente tende a crescere per x>4/3, mentre non sappiamo come si comporta nell'intervallo tra 0 e 4/3.


  • in quale punto la funzione raggiunge il suo minimo?

  • da quale punto in poi la funzione inizia a crescere?

  • la funzione possiede un solo minimo?


Utilizzando la derivata si possono ottenere le risposte alle domande precedenti.


In particolare occorre studiare i minimi ed i massimi locali che vengono chiamati, in generale estremi locali.


Minimi e massimi locali possono anche essere chiamati minimi e massimi relativi.

Allo stesso modo estremi locali possono essere chiamati estremi relativi.



La funzione f ha in un massimo locale se esiste un intorno completo del punto tale che per ogni valore di di questo intorno si ha .


Il più grande dei massimi locali è il massimo globale.



La funzione f ha in un minimo locale se esiste un intorno completo del punto tale che per ogni valore di di questo intorno si ha .


Il più piccolo dei minimi locali è il minimo globale.




E' importante sottolineare che se la funzione f è definita in un intervallo [a, b], allora il minimo o massimo globale può trovarsi negli estremi dell'intervallo, cioè coincidere con f(a) o con f(b).




Esempio

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Crescenza e decrescenza di una funzione



Possiamo dare le seguenti definizioni:


Una funzione è crescente nei punti in cui la derivata della funzione è positiva.


Una funzione è decrescente nei punti in cui la derivata della funzione è negativa.





Se la funzione per ogni x appartenente all'intervallo (a,b) allora la funzione è crescente nell'intervallo.


Se la funzione per ogni x appartenente all'intervallo (a,b) allora la funzione è decrescente nell'intervallo.



Il punto in cui la funzione da crescente passa a decrescente o viceversa è detto estremo locale ed è tale:




il che significa che la tangente alla curva nel punto ha pendenza zero, ossia è una retta parallela all'asse delle ascisse.


Vediamo graficamente:


Estremi locali: la pendenza (derivata della funzione) della tangente alla curva uguale a zero



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Punti stazionari



I punti in cui la derivata della funzione è uguale a zero - quindi la tangente è parallela all'asse x - sono chiamati punti stazionari.


I punti stazionari possono essere di tre tipi:


  • minimo locale


  • massimo locale


  • punto di flesso


Una funzione f ha in un massimo locale se:




  • la derivata della funzione a sinistra di è positiva mentre a destra di è negativa.



Una funzione f ha in un minimo locale se:




  • la derivata della funzione a sinistra di è negativa mentre a destra di è positiva.



Esistono dei punti in cui la funzione non raggiunge né un massimo né un minimo. Questi punti sono chiamati punti di flesso orizzontale:


Una funzione ha punto stazionario chiamato punto di flesso quando in prossimità del punto la derivata non cambia segno.



Problemi estremali



Utilizzando il concetto della derivata si possono risolvere i problemi estremali, quelli in cui è necessario rendere una quantità massima oppure minima, attraverso una funzione.


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redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto