La derivata della funzione f(x) nel punto T è il coefficiente angolare m della retta tangente alla curva considerata.
Figura 1
La derivata della funzione f nel punto T(x,y) è la pendenza della tangente al grafico della funzione f nel punto T(x,y).
Con la derivata calcoliamo la pendenza di una retta. Ma non solo: in generale, calcoliamo la pendenza punto per punto di una curva.
pendenza
Quello che facciamo è dividere il cambiamento in altezza per il cambiamento in lunghezza. Nel linguaggio della matematica questo si può definire come:
Dalla teoria delle funzioni lineari si può calcolare la pendenza come:
Graficamente si ha:
Il calcolo della pendenza m è indipendente dalla scelta dei punti considerati. Cosa avviene quando vogliamo calcolare la pendenza di una curva e non di una retta?
Rappresentiamo graficamente il caso in cui abbiamo a che fare con una curva:
Per il calcolo della pendenza si scelgono due punti e si utilizza la stessa formula del caso lineare:
In questo caso, cambiando la scelta dei punti, cambia anche la pendenza che si trova:
Ad esempio le linee verde ed arancione rappresentano due diverse pendenze ottenute con la scelta di diversi punti
Supponiamo di scegliere due punti molto vicini e valutiamo la pendenza:
Il termine 
è detto rapporto incrementale.
La derivata della funzione nel punto 
rappresenta la pendenza della tangente al grafico della funzione nel punto 
. Questo è il limite del rapporto incrementale per h tendente a zero:
In genere, comunque, questo calcolo è piuttosto laborioso e viene fatto esclusivamente quando è richiesto esplicitamente nell'esercizio di calcolare la derivata utilizzando la definizione.
Per trovare le derivate, invece, si utilizzano delle regole e delle forme che semplificano notevolmente il calcolo, anche nel caso di derivate piuttosto complesse.
Le regole di base per il calcolo delle derivate sono elencate qui di seguito:
Derivata di una costante per una funzione
Data la funzione
con k costante
la derivata si ottiene moltiplicando la costante per la derivata della funzione.
Derivata della somma/differenza tra due funzioni
Data una funzione:
La derivata della somma / differenza tra due funzioni è uguale alla somma / differenza delle funzioni derivate
Derivata del prodotto
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata del primo fattore per il secondo, più il prodotto del primo fattore per la derivata del secondo.
In formula:
La formula precedente si può generalizzare nel caso di prodotto di tre o più funzioni:
Derivata del rapporto
La derivata del quoziente di due funzioni derivabili è uguale ad una frazione che ha al denominatore il quadrato del denominatore e al numeratore la differenza tra il prodotto della derivata del numeratore per il denominatore e il prodotto del numeratore per la derivata del denominatore.
In formula:
Nella tabella seguente sono elencate, senza effettuare la dimostrazione, le derivate di alcune funzioni elementari.
Vediamo tre esempi di calcolo delle derivate
Supponiamo di avere la seguente figura:
calcolando la pendenza:
La pendenza, per definizione, non è altro che la tangente dell'angolo 
:
Sappiamo inoltre che la pendenza non è altro che la derivata della funzione calcolata nel punto 
:
Possiamo quindi dire che:
