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Successione geometrica



Una successione reale molto importante è quella geometrica, in quanto è molto intuitiva e facile da studiare.


Definizione



Una successione reale si dice geometrica di punto iniziale a e ragione q se è della forma:




Intuitivamente la successione geometrica parte da un numero a e si "muove" di n "passi" sulla retta reale: la lunghezza del segmento iniziale sarà "dilatato" (o "contratto") di q ad ogni passo.


Successione geometrica di ragione q e punto iniziale a



Esempio

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Presentazione ricorsiva



Prendiamo due termini consecutivi e calcoliamo il rapporto del secondo col primo:




Riscriviamo l' uguaglianza precedente:




In più sappiamo che il primo termine è proprio il punto iniziale:




Una successione geometrica di ragione q e punto iniziale a si può presentare in maniera ricorsiva:




Carattere



Il carattere di una serie geometrica è determinato completamente dal segno del punto iniziale a e dalla ragione q


Riassumiamo in tabella i possibili comportamenti:



Vediamo un esempio di successione geometrica divergente.


Esempio

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Vediamo un esempio di successione geometrica convergente.


Esempio

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Vediamo un esempio di successione geometrica indeterminata.


Esempio

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Media geometrica



Ricordiamo la definizione di media geometrica:


Dati due numeri reali a e b concordi, la loro media geometrica è il numero reale:




Un'importante proprietà della successione geometrica si può esprimere tramite media geometrica.


In una successione geometrica di punto iniziale e ragione positivi ogni termine è media geometrica di altri due termini che sono alla medesima distanza da esso




L' ipotesi che punto iniziale e ragione siano positivi è essenziale dato che l' estrazione di radice quadrata (intesa come anti-immagine di elevare al quadrato) non è univoca.



Dimostrazione:




Suddivisione geometrica



Una notevole applicazione della successione geometrica è quella di suddividere in sotto-intervalli un intervallo limitato [a , b] tali che vi sia un maggior "addensamento" di punti al'' estremo inferiore dell' intervallo: per far ciò è sufficiente decidere in quante parti si vuol dividere l' intervallo e calcolare gli estremi dei nuovi sotto-intervalli.


Suddivisione geometrica



Dato un intervallo limitato [a , b], gli estremi dei suoi n sotto-intervalli divisi geometricamente sono determinati dalla successione geometrica finita:


  • è il punto iniziale.


  • è il punto finale.


  • è il fattore di dilatazione della suddivisione (in questo caso è costante)


  • sono i nuovi estremi dei sotto-intervalli


I sotto-intervalli saranno della forma



Nel caso si volesse una maggiore "densità" di punti vicino all'intervallo destro sarà comodo sommare i termini della successione geometrica: rimandiamo la spiegazione al capitolo dedicato.


Vediamo un esempio.


Esempio

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redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin