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Serie geometriche

Serie geometrica

In questo capitolo svolgeremo in dettaglio gli aspetto riguardanti la serie geometrica.

Definizione

Una serie è detta geometrica se è della forma:

ovvero se la sua successione associata è

Un metodo comodo per riconoscerla immediatamente è quello fare il rapporto di due termini della serie consecutivi:

ovvero è costantemente uguale alla ragione.

Esempio

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Prima di passare allo studio della convergenza della geometrica dimostriamo un' uguaglianza importante.

Sia la successione geometrica () allora

Possiamo concludere che è la successione delle somme parziali di :

Esempio

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A seconda del valore che assume la ragione abbiamo 4 casi:

La serie diventa:

La sua ridotta n-esima sarà della forma:

Prendiamo la sotto-successione di indice pari e quella di indice dispari:

facciamone il limite:

quindi, esistendo due sotto-successioni che hanno limiti diversi, la serie è indeterminata.
La serie diventa:

La sua ridotta n-esima sarà della forma:

facciamone il limite:

quindi la serie è divergente a a seconda del segno di a.
Sappiamo che:

La successione è infinitesima

La serie geometrica è convergente e converge a:
Sappiamo che:

La successione diverge e quindi anche la serie geometrica diverge.

Nel caso particolare in cui q > 1:

e per la serie geometrica:

Esempio

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redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin