Grafico di una funzione polinomiale fb
 

Rappresentazione grafica dei polinomi



Il grafico polinomio è una curva continua, che è definita in tutto il campo dei numeri reali. Quando si disegna un grafico del polinomio è necessario conoscere alcune informazioni di base:

  • valore iniziale, in cui la funzione ha ascissa nulla

  • zeri del polinomio

  • comportamento della funzione all'infinito

  • estremanti


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Valore iniziale



E' il valore in cui il polinomio interseca l'asse delle ordinate y. E' il termine noto del polinomio:




Il valore iniziale è il punto del polinomio con ascissa nulla (x=0), che corrisponde al termine noto:




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Zeri del polinomio



Sono i punti in cui il polinomio interseca l'asse .


Gli zeri di un polinomio sono i punti in cui il polinomio vale 0, cioè si annulla:




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I metodi per determinare gli zeri di un polinomio sono spiegati in dettaglio nel capitolo sulla scomposizione di polinomi.


Per la rappresentazione grafica è utile conoscere l'andamento del polinomio negli zeri, cioè se interseca l'asse x o se lo tocca senza attraversarlo.


Comportamento del polinomio nell'intorno degli zeri



Ci interessa ora vedere cosa accade nell'intorno dei singoli zeri. Il grafico del polinomio in un certo punto può comportardi in due modi: o solo toccare l'ascissa oppure attraversare l'asse, cambiando quindi di segno.


Gli zeri individuati possono essere singoli o multipli (ripetuti). Riconosciamo quindi due tipi di zeri:

  • zeri dispari

  • zeri pari


Il comportamento del grafico nell'intorno degli zeri del polinomio, dipende dal loro grado.


Vicino a zeri di grado dispari, il polinomio cambia di segno e quindi il suo grafico attraversa l'asse x.


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Nelle vicinanze di zeri di grado pari il polinomio non cambia di segno e quindi tocca solo l'asse delle x.


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Comportamento della funzione all'infinito



Per disegnare il grafico del polinomio, studiamone ora il comportamento agli estremi.

Cerchiamo le informazioni necessarie per verificare se agli estremi il nostro grafico è positivo o negativo. Il comportamento del polinomio all'infinito dipende dal termine di grado massimo ; saremo quindi in grado di caratterizzare il nostro grafico così:

  • inizia con valori negativi di y e termina in positivo (crescente)

  • all'estremo sinistro è positivo e termina con valori negativi di y (decrescente)

  • inizia e finisce con valori negativi di y (concava)

  • inizia e finisce con valori positivi di y (convessa)


Vediamo come il termine influisce sul grafico. Siamo interessati al segno del grafico, non a valori esatti:

  • per che va a , dobbiamo guardare l'andamento del grafico sul lato destro.

  • per che va a , guarderemo l'andamento del grafico sul lato sinistro.


Quando l'argomento di grado massimo è dispari, il segno del grafico agli estremi corrisponderà al segno dell'infinito. Se il coefficiente è positivo, allora il grafico è crescente.


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Quando l'argomento di grado massimo è dispari, il segno del grafico agli estremi corrisponderà al segno dell'infinito. Se il coefficiente è negativo, allora il grafico è decrescente.


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Quando l'argomento di grado massimo è pari, il segno a destra e sinistra è conservato. Se il coefficiente è maggiore di zero, allora il grafico inizia e finisce con valori positivi.


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Quando l'argomento di grado massimo è pari, il segno a destra e sinistra è conservato. Se il coefficiente è minore di zero, allora il grafico inizia e finisce con valori negativi.


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Estremanti



Per comprendere questo paragrafo è necessario conoscere le derivate.



Gli estremanti sono punti in cui la funzione cambia pendenza. La tangente al grafico nell'estremante è parallela all'asse x.


Un estremante è un punto in cui la derivata si annulla.




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redattore del materiale didattico: Cristina Capitani