In matematica, oltre alla moltiplicazione tra numeri, esiste anche la moltiplicazione tra vettori.
La moltiplicazione tra due vettori è chiamata prodotto scalare.
Tale definizione di moltiplicazione tra vettori è legata con altri concetti di matematica, come ad esempio il teorema di Pitagora, che è il risultato della moltiplicazione di due vettori perpendicolari tra loro.
Siano dati due vettori 
e 
aventi l'origine in comune e formanti un angolo 
.
Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto delle lunghezze (moduli) dei due vettori per il coseno dell'angolo da essi formato:
Il risultato del prodotto scalare tra due vettori è uno scalare.
Dalla formula
si può verificare che il prodotto scalare risulta uguale a 0 (cioè il vettore nullo) se almeno uno tra e è il vettore zero, o quando il 
, cioè quando (
).
Se si effettua il prodotto scalare di un vettore con se stesso, risulta 
:
La lunghezza (o modulo) del vettore è pari a:
Il calcolo della lunghezza di un vettore conoscendo le sue componenti si effettua allo stesso modo di come studiato nel capitolo su i Vettori in un sistema cartesiano. Qui vediamo un semplice esempio.
La proiezione ortogonale del vettore sul vettore (
) si ottiene tracciando una linea retta che parte dal punto finale del vettore fino a quando non viene intercettato il vettore .
Quando proiettiamo un vettore perpendicolarmente al vettore , otteniamo un triangolo rettangolo con ipotenusa 
e cateto .
Nel triangolo rettangolo possiamo ricavare la funzione coseno:
da questo ricaviamo
Inserendo il risultato ottenuto nella formula del prodotto scalare:
che può essere scritta come:
Il prodotto scalare di due vettori è pari al prodotto della lunghezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore sul primo.
Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa:
Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva:
Il prodotto scalare è omogeneo:
Il teorema dei coseni è spesso usato per risolvere qualsiasi triangolo. Qui analizzeremo la sua applicazione nel caso dei vettori.
In un triangolo indichiamo i lati con i vettori , e 
, e l'angolo tra i vettori e lo chiamiamo 
(vedi figura).
Il vettore è espresso con i vettori e :
Manipoliamo l'equazione:
E così abbiamo ottenuto il teorema dei coseni che può essere applicato a qualunque lato del triangolo.
Il teorema dei coseni applicato a tutti e tre i lati di un triangolo:
dove:
è l'angolo compreso tra i lati 
e 
è l'angolo compreso tra i lati 
e
è l'angolo compreso tra i lati e
Vediamo come il teorema di Pitagora deriva dal teorema dei coseni. Consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con c l'ipotenusa e con a e b i due cateti:
Applicando il teorema dei coseni:
Il fatto di aver ottenuto il teorema di Pitagora sfruttando il prodotto scalare è una ulteriore prova che la definizione data di prodotto scalare permette di effettuare nella maniera corretta la moltiplicazione tra due vettori.
