Prodotto scalare

In matematica, oltre alla moltiplicazione tra numeri, esiste anche la moltiplicazione tra vettori.

La moltiplicazione tra due vettori è chiamata prodotto scalare.

Tale definizione di moltiplicazione tra vettori è legata con altri concetti di matematica, come ad esempio il teorema di Pitagora, che è il risultato della moltiplicazione di due vettori perpendicolari tra loro.

Siano dati due vettori e aventi l'origine in comune e formanti un angolo .

Il risultato del prodotto scalare tra due vettori è uno scalare.

Dalla formula

si può verificare che il prodotto scalare risulta uguale a 0 (cioè il vettore nullo) se almeno uno tra e è il vettore zero, o quando il , cioè quando ().

Se si effettua il prodotto scalare di un vettore con se stesso, risulta :

Il calcolo della lunghezza di un vettore conoscendo le sue componenti si effettua allo stesso modo di come studiato nel capitolo su i Vettori in un sistema cartesiano. Qui vediamo un semplice esempio.

La proiezione ortogonale del vettore sul vettore () si ottiene tracciando una linea retta che parte dal punto finale del vettore fino a quando non viene intercettato il vettore .

Quando proiettiamo un vettore perpendicolarmente al vettore , otteniamo un triangolo rettangolo con ipotenusa e cateto .

Nel triangolo rettangolo possiamo ricavare la funzione coseno:

da questo ricaviamo

Inserendo il risultato ottenuto nella formula del prodotto scalare:

che può essere scritta come:

Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa:

Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva:

Il prodotto scalare è omogeneo:

Il teorema dei coseni è spesso usato per risolvere qualsiasi triangolo. Qui analizzeremo la sua applicazione nel caso dei vettori.

In un triangolo indichiamo i lati con i vettori , e , e l'angolo tra i vettori e lo chiamiamo (vedi figura).

Il vettore è espresso con i vettori e :

Manipoliamo l'equazione:

E così abbiamo ottenuto il teorema dei coseni che può essere applicato a qualunque lato del triangolo.

Vediamo come il teorema di Pitagora deriva dal teorema dei coseni. Consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con c l'ipotenusa e con a e b i due cateti:

Applicando il teorema dei coseni:

Il fatto di aver ottenuto il teorema di Pitagora sfruttando il prodotto scalare è una ulteriore prova che la definizione data di prodotto scalare permette di effettuare nella maniera corretta la moltiplicazione tra due vettori.