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Prodotto scalare



In matematica, oltre alla moltiplicazione tra numeri, esiste anche la moltiplicazione tra vettori.


La moltiplicazione tra due vettori è chiamata prodotto scalare.

Tale definizione di moltiplicazione tra vettori è legata con altri concetti di matematica, come ad esempio il teorema di Pitagora, che è il risultato della moltiplicazione di due vettori perpendicolari tra loro.


Definizione di prodotto scalare



Siano dati due vettori e aventi l'origine in comune e formanti un angolo .




Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto delle lunghezze (moduli) dei due vettori per il coseno dell'angolo da essi formato:




Il risultato del prodotto scalare tra due vettori è uno scalare.


Esempio

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Quando risulta 0 il prodotto scalare di due vettori?



Dalla formula




si può verificare che il prodotto scalare risulta uguale a 0 (cioè il vettore nullo) se almeno uno tra e è il vettore zero, o quando il , cioè quando ().


Lunghezza (o modulo) del vettore



Se si effettua il prodotto scalare di un vettore con se stesso, risulta :




La lunghezza (o modulo) del vettore è pari a:




Il calcolo della lunghezza di un vettore conoscendo le sue componenti si effettua allo stesso modo di come studiato nel capitolo su i Vettori in un sistema cartesiano. Qui vediamo un semplice esempio.


Esempio

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Proiezione ortogonale



La proiezione ortogonale del vettore sul vettore () si ottiene tracciando una linea retta che parte dal punto finale del vettore fino a quando non viene intercettato il vettore .


Quando proiettiamo un vettore perpendicolarmente al vettore , otteniamo un triangolo rettangolo con ipotenusa e cateto .




Nel triangolo rettangolo possiamo ricavare la funzione coseno:




da questo ricaviamo




Inserendo il risultato ottenuto nella formula del prodotto scalare:




che può essere scritta come:




Il prodotto scalare di due vettori è pari al prodotto della lunghezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore sul primo.




Proprietà del prodotto scalare



Commutativa



Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa:




Distributiva



Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva:




Omogeneità



Il prodotto scalare è omogeneo:




Il teorema dei coseni



Il teorema dei coseni è spesso usato per risolvere qualsiasi triangolo. Qui analizzeremo la sua applicazione nel caso dei vettori.


In un triangolo indichiamo i lati con i vettori , e , e l'angolo tra i vettori e lo chiamiamo (vedi figura).




Il vettore è espresso con i vettori e :




Manipoliamo l'equazione:



E così abbiamo ottenuto il teorema dei coseni che può essere applicato a qualunque lato del triangolo.


Il teorema dei coseni applicato a tutti e tre i lati di un triangolo:








dove:


è l'angolo compreso tra i lati e

è l'angolo compreso tra i lati e

è l'angolo compreso tra i lati e



Teorema di Pitagora



Vediamo come il teorema di Pitagora deriva dal teorema dei coseni. Consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con c l'ipotenusa e con a e b i due cateti:




Applicando il teorema dei coseni:



Il fatto di aver ottenuto il teorema di Pitagora sfruttando il prodotto scalare è una ulteriore prova che la definizione data di prodotto scalare permette di effettuare nella maniera corretta la moltiplicazione tra due vettori.


redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto