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Probabilità: Approfondimenti

Nel capitolo introduzione alla probabilità abbiamo parlato diffusamente dell'argomento, ma abbiamo omesso molte proprietà e conseguenze per brevità.

In questo capitolo vedremo in dettaglio le loro dimostrazioni.

Probabilità dell'insieme vuoto

La probabilità dell'insieme vuoto è sempre 0:

Dimostrazione:

	Sappiamo che per ogni insieme A:
	Sappiamo che per ogni insieme A: Applichiamo l'additività finita:
	Cancelliamo da entrambi i membri P(A):

Invece che calcolare direttamente la probabilità di un evento A, può risultare utile i calcolare la probabilità dell'evento complementare

Nota la probabilità di un evento, la probabilità dell'evento complementare è data dalla formula:

Dimostrazione:

	Sappiamo che per ogni insieme A:
	Sappiamo che per ogni insieme A: Applichiamo l'additività finita:
	Trasportiamo P(A) dal I al II membro:

Dati due eventi A e B tali che allora vale la disuguaglianza:

Dimostrazione:

	Sappiamo che per ogni sottoinsieme B di A:
	Sappiamo che: Applichiamo l'additività finita:
	Trasportiamo P(B) dal I al II membro:
	Dato che il I membro è una probabilità:
	Trasportiamo P(B) dal II al I membro:

Dati due eventi A e B vale l'uguaglianza:

Dimostrazione:

	Sappiamo che per ogni insieme A e B:
	Sappiamo che: Applichiamo l'additività finita:
	Trasportiamo dal I al II membro:

Dati due eventi A e B vale l'uguaglianza:

Dimostrazione:

	Sappiamo che per ogni insieme A e B:
	Sappiamo che: Applichiamo l'additività finita:
	Applichiamo la probabilità di una differenza:
	Sommiamo:

redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin