Immaginiamo di voler spingere un corpo lungo una salita, mantendendo la velocità costante.


Figura 1: Piano inclinato.



Per mantenere la velocità costante, dobbiamo eguagliare la forza , che è composta da:


  • una forza che tende a far scivolare il corpo verso il basso;

  • una forza di attrito che si oppone al moto.


Come calcolo la forza che devo applicare? Cosa è e come la calcolo?


Componente della forza peso



Abbiamo un corpo di massa m su un piano inclinato.


La forza peso è verticale al terreno e possiamo scomporla in due componenti, perpendicolari tra loro:

  • componente statica (o normale): è la componente perpendicolare al pendio;

  • componente dinamica (o parallela): è la componente parallela al piano inclinato.



Aiutamoci con un'immagine (figura 2):


Figura 2: componenti della forza peso



Per scomporre la forza peso dobbiamo sapere che angolo essa forma con la discesa. Allora guardiamo bene la figura e notiamo due triangoli rettangoli:


  • di cateti d e h con ipotenusa s. Dove h è l'altezza del pendio e s la sua lunghezza, con l'angolo è retto, l'angolo è e l'angolo è ;

  • ha ipotenusa , cateti e .

Innanzitutto abbiamo che l'angolo in è uguale all'angolo in , essendo angoli corrispondenti delle rette parallele passante rispettivamente per AB e A'B' tagliate dalla trasversale passante per BC. Poi vediamo che l'angolo in è pari a , perchè sono angoli alterni interni delle rette parallele passanti per BC e A''B'' tagliate dalla retta passante per B'C'. Dai criteri di similitudine sappiamo che se due trinagoli hanno due angoli coincidenti allora sono simili. Dal primo criterio di similitudine dei triangoli sappiamo che:


Due triangoli sono simili se e solo se hanno un angolo congruente e i due lati ad esso adiacenti proporzionali tra di loro secondo una stessa costante k.



Nel nostro caso abbiamo che l'angolo congruente è l'angolo , quindi dobbiamo verificare che il rapporto tra due lati adiacenti all'angolo è lo stesso cioè:



e :



Esempio

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Relazione con gli angoli



Conoscendo le relazioni della trigonometria possiamo riscrivere le relazioni precedenti.


Guardando Figura 2, è possibile scrivere forza statica mediante il funzione coseno:



Forza dinamica invece è espressa attraverso funzioni seno:



Per un dato angolo, che rappresenta la pendenza della rampa allora la componente statica e dinamica della forza di gravità per mezzo degli angoli sono:






Moto lungo un piano inclinato



Abbiamo quindi dato un'interpretazione e un valore alla . Possiamo allora rispondere al nostro quesito iniziale, cioè:




Dove è il versore parallelo al piano. Per mantenere un corpo in equilibrio:




o anche:




Invece per mettere in moto dobbiamo applicare una forza:




Esempio

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redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto