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Operazioni con i numeri complessi



Anche per i numeri complessi esistono le normali operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Vediamo come si definiscono tali operazioni.


Addizione di numeri complessi



Dati due numeri complessi:




Si definisce somma dei due numeri complessi il numero:




Ovvero:



Il risultato è un numero complesso che ha come primo termine la somma dei primi termini dei numeri complessi addendi, e come secondo termine la somma dei secondi termini degli addendi. La definizione si applica anche nel caso di somma di tre o più numeri complessi.


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Proprietà della somma di numeri complessi:


  • Esiste l'elemento neutro e si indica con . Tale elemento si chiama numero complesso zero o nullo. Dato un qualunque numero complesso si ha che:




  • Il numero complesso opposto di è:




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Dalla definizione di somma tra numeri complessi si può ricavare anche il concetto di differenza tra numeri complessi.

Si definisce differenza tra due numeri complessi e quel numero complesso che si ottiene sommando il primo numero con l'opposto del secondo.


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Moltiplicazione di numeri complessi



Dati due numeri complessi:




Si definisce prodotto dei due numeri complessi il numero




Nel caso di prodotto di tre numeri complessi, prima si effettua la moltiplicazione tra i primi due fattori, successivamente il risultato si moltiplica per il terzo. Tale definizione si applica anche nel caso di prodotto tra n numeri complessi.



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  • Esiste l'elemento neutro e si indica con . Tale elemento si chiama numero complesso uno.

    Dato un qualunque numero complesso si ha che:




Reciproco di un numero complesso



Dato un numero complesso diverso da zero, esiste, ed è unico, l'opposto rispetto alla moltiplicazione: il numero complesso reciproco. E' quel numero complesso che moltiplicato per dà come prodotto 1.


Dato un numero complesso , diverso da zero, esiste ed è unico il suo reciproco, così definito:




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In matematica una salita è anche una discesa: vediamo se la formula utilizzata per calcolare il reciproco è corretta, moltiplicando il numero di partenza con il reciproco ottenuto.


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Divisione di numeri complessi



Dalla definizione di reciproco si può ricavare anche il concetto di quoziente. Infatti, il quoziente tra due numeri complessi, altro non è che il prodotto del primo numero con il reciproco del secondo. Allo stesso modo in cui:




Allora, applicando la proprietà della moltiplicazione tra numeri complessi e del reciproco di un numero complesso si ottiene:




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Potenze con esponente intero di numeri complessi



La definizione di potenza nel campo dei numeri reali può essere utilizzata anche nel campo dei numeri complessi.


  • <=> 0 e 0.


  • se

  • se e 0 e 0

Le regole relative alle potenze definite nel campo dei reali si possono applicare anche al caso complesso.


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Il campo complesso: ampliamento del campo reale



Due numeri complessi:




Sono uguali se:




In simboli si scrive:




Operando questa definizione, è chiaro che l'eguaglianza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.


Riflessiva:




Simmetrica:




Transitiva:




Due numeri complessi sono diseguali se:




Nel campo dei numeri complessi non esistono i concetti di maggiore o minore. Infatti, i numeri complessi stanno su un piano e non su una retta!



Equazioni di secondo grado a una incognita nel campo complesso



Una equazione di secondo grado a coefficienti complessi ammette sempre soluzioni complesse che possono essere distinte se oppure coincidenti se .


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Autore principale e redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto