Anche per i numeri complessi esistono le normali operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Vediamo come si definiscono tali operazioni.
Dati due numeri complessi:
Si definisce somma dei due numeri complessi il numero:
Ovvero:
Il risultato è un numero complesso che ha come primo termine la somma dei primi termini dei numeri complessi addendi, e come secondo termine la somma dei secondi termini degli addendi. La definizione si applica anche nel caso di somma di tre o più numeri complessi.
Proprietà della somma di numeri complessi:
Esiste l'elemento neutro e si indica con 
. Tale elemento si chiama numero complesso zero o nullo. Dato un qualunque numero complesso si ha che:
Il numero complesso opposto di 
è:
Dalla definizione di somma tra numeri complessi si può ricavare anche il concetto di differenza tra numeri complessi.
Si definisce differenza tra due numeri complessi 
e 
quel numero complesso che si ottiene sommando il primo numero con l'opposto del secondo.
Dati due numeri complessi:
Si definisce prodotto dei due numeri complessi il numero
Nel caso di prodotto di tre numeri complessi, prima si effettua la moltiplicazione tra i primi due fattori, successivamente il risultato si moltiplica per il terzo. Tale definizione si applica anche nel caso di prodotto tra n numeri complessi.
Esiste l'elemento neutro e si indica con 
. Tale elemento si chiama numero complesso uno.
Dato un qualunque numero complesso 
si ha che:
Dato un numero complesso diverso da zero, esiste, ed è unico, l'opposto rispetto alla moltiplicazione: il numero complesso reciproco. E' quel numero complesso che moltiplicato per 
dà come prodotto 1.
Dato un numero complesso , diverso da zero, esiste ed è unico il suo reciproco, così definito:
In matematica una salita è anche una discesa: vediamo se la formula utilizzata per calcolare il reciproco è corretta, moltiplicando il numero di partenza con il reciproco ottenuto.
Dalla definizione di reciproco si può ricavare anche il concetto di quoziente. Infatti, il quoziente tra due numeri complessi, altro non è che il prodotto del primo numero con il reciproco del secondo. Allo stesso modo in cui:
Allora, applicando la proprietà della moltiplicazione tra numeri complessi e del reciproco di un numero complesso si ottiene:
La definizione di potenza nel campo dei numeri reali può essere utilizzata anche nel campo dei numeri complessi.
<=> 
0 e 
0.
se 
se 
e 0 e 0
Le regole relative alle potenze definite nel campo dei reali si possono applicare anche al caso complesso.
Due numeri complessi:
Sono uguali se:
In simboli si scrive:
Operando questa definizione, è chiaro che l'eguaglianza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Riflessiva:
Simmetrica:
Transitiva:
Due numeri complessi sono diseguali se:
Nel campo dei numeri complessi non esistono i concetti di maggiore o minore. Infatti, i numeri complessi stanno su un piano e non su una retta!
Una equazione di secondo grado a coefficienti complessi ammette sempre soluzioni complesse che possono essere distinte se 
oppure coincidenti se 
.
