Problemi con i numeri interi fb
 

Numeri naturali



I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare, sono fondamentali! Sono numeri natuali:




Anche nella matematica hanno un ruolo fondamentale gli insiemi e che vanno ad indicare i numeri naturali ed interi. Senza questi numeretti l'intero mondo dei calcoli sfumerebbe in un attimo. Sono loro gli elementi più semplici ma allo stesso tempo più decisivi per far funzionare le cose.


Le operazioni nell'insieme dei numeri naturali



contiene tutti i numeri da 0 ad infinito, ovvero tutti i numeri senza segno davanti. In questo insieme è possibile fare la somma e il prodotto, ma le altre operazioni elementari, quali la sottrazione e la divisione sono un po' limitate.


Come insieme potro' anche indicarlo come:




che si legge: e' l'insieme dei numeri zero, uno, due, tre e avanti così fino ad infinito.


Retta dei numeri naturali



Addizione fra numeri naturali



Possiamo fare tranquillamente qualunque somma all'interno dell'insieme dei numeri naturali


Esempio

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Arriviamo ad un'importante osservazione.


Il risultato della somma di due numeri naturali è a sua volta un numero naturale, ovvero appartiene all'insieme



Elemento neutro



Si definisce elemento neutro rispetto alla somma il numero 0: se sommo 0 a qualunque numero, non succede niente. Spiegandoci mediante un esempio:


Esempio

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Lo 0 nella somma è neutro, ovvero non sortisce alcun effetto.


Moltiplicazione fra numeri naturali



Anche il prodotto all'interno di due numeri naturali rimane sempre all'interno di .


Esempio

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Elemento neutro



Anche il prodotto possiede un elemento neutro. Tale elemento è il numero 1. Infatti la moltiplicazione tra 1 e un dato numero restituisce quel dato numero. Con un esempio:


Esempio

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Elemento nullo



Il prodotto ha una particolarità, moltiplicando un qualsiasi numero per 0 ho come risultato 0. Vediamo un esempio.


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Sottrazione fra numeri naturali



Possiamo sempre eseguire la sottrazione di due numeri naturali. Purtroppo il risultato non sarà sempre nell'insieme dei naturali.


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Il punto di domanda identifica un numero sconosciuto in questo insieme. Più avanti vedremo che questo numeretto è ben definito in un'estensione di , l'insieme dei numeri interi.



Divisione tra numeri naturali



Possiamo sempre eseguire la divisione di due numeri naturali. Purtroppo il risultato non sarà sempre nell'insieme dei naturali.


Esempio

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Per risolvere questi problemi dovremo aspettare un'altra estensione di , l'insieme dei numeri razionali.


Assiomi di Peano



Enunciamo gli Assiomi di Peano, alla base dei Numeri Naturali


  • Esiste un numero naturale, lo zero.

  • Ogni numero naturale ha un numero naturale successore.

  • Numeri diversi hanno successori diversi.

  • Lo zero non è il successore di alcun numero naturale.

  • Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).


Proprietà di N



L'insieme rispetto alla somma e al prodotto gode delle seguenti proprietà, che favoriscono non poco i conti.


Proprietà commutativa



proprietà commutativa:






Vediamo un esempio:


Esempio

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Proprietà associativa



proprietà associativa:





Vediamo un esempio:


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Ordine delle operazioni



Prima di vedere cosa accade se le combiniamo bisogna parlare dell'ordine di operazione.


Prima si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni.




Dopo si eseguono addizioni e sottrazioni.




Riassumendo:



Una precedenza simile avviene tra le parentesi. Detta senza mezzi termini:


batte , che a sua volta batte


Ovvero prima si fanno le operazioni nelle tonde, poi nelle quadre e infine nelle graffe. Gli operatori fuori da tutte le parentesi si considerano per ultimi.


Esempio

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Proprietà distributiva



Unendo prodotto e somma nelle proprietà si ottiene:


Proprietà distributiva:




Con i numeri:


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Note su N



Parlando in termini matematici è un insieme chiuso rispetto alla somma e al prodotto e si identifica con la terna .


In questo piccolo ma importante insieme appare un insieme più piccolino che ha delle peculiarità fondamentali per molti teoremi della Matematica.


Numeri Primi



Questo insieme è l'insieme dei numeri primi , ovvero quei numeri che sono divisibili esclusivamente per se stessi e per 1.


Questi numeri sono importanti perché ogni numero dell'insieme si può scrivere come una combinazione elementi dell'insieme . Infatti gli elementi di definiscono una base per l'insieme .


Inoltre ogni elemento di si può fattorizzare mediante elementi di , ovvero si può scrivere come prodotto di elementi di considerati con i vari esponenti.


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Per completezza inseriamo un tabella dei primi 10 numeri primi.


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Autore principale e redattore del materiale didattico: OpenProf Portale