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Moto circolare uniforme



Se un corpo si muove seguendo una traiettoria circolare, allora si dice che è in moto circolare. Sappiamo che se conosciamo il vettore velocità in un certo istante allora oltra a conoscere la velocità, conosciamo anche la direzione. Abbiamo messo il pedice t, per indicare la velocità di rotazione del punto tangente punto per punto alla circonferenza (vedi Figura1).


Figura 1: Come varia il vettore velocità su una circonferenza.



Come possiamo notare dall'immagine che la direzione del vettore velocità varia nel tempo, per quanto riguarda il modulo invece può essere:


  • costante : il moto circolare è uniforme.


  • non costante : il moto circolare è accelerato.


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In questo capitolo studieremo il moto circolare uniforme.


Grandezze fisiche che descrivono il moto circolare uniforme



Il corpo si muove uniformemente lungo un percorso circolare di raggio r, come mostrato in figura 2.


Figura 2: Moto circolare uniforme.



Nella figura 2 possiamo vedere gli elementi geometrici di base utilizzati per descrivere questo moto:

  • il vettore velocità o velocità tangenziale è la velocità con cui il corpo gira sulal circonferenza;


  • il raggio r è la distanza tra il centro e i punti della circonferenza stessa;


  • lo spostamento s, che il corpo ha percorso in un tempo t, è uguale alla lunghezza dell'arco che il punto descrive sulla circonferenza;


  • l'angolo che il corpo descrive in un tempo t.


Oltre agli elementi geometrici di base, ci sono delle importanti grandezze fisiche:

  • Periodo di rotazione


    Il corpo si muove lungo una circonferenza, e dopo un certo tempo torna al punto in cui ha iniziato a muoversi. L'intervallo di tempo per percorrere l'intera circonferenza è chiamato periodo e s indica con .


  • Frequenza di rotazione


    Con il periodo indichiamo quanto tempo impiega il corpo per fare un giro completo, ma possiamo anche chiederci quanti giri sono completati in un'unità di tempo. Questa grandezza è detta una frequenza ed è indicata con (nu).


  • Velocità angolare


    Il concetto di velocità angolare è simile al concetto di velocità, però non consideriamo lo spazio percorso in un certo tempo, ma l'angolo descritto nello stesso intervallo di tempo. Come unità anziché gradi vengolo utilizzati i radianti. La velocità angolare ci dice pertanto quanti radianti vengono descritti in un secondo e la indichiamo con (pronunciato omega).


  • Accelerazione centripeta


    Dalla figura 2 si vede che il vettore velocità cambia nel tempo (il modulo rimane lo stesso, ma cambia la direzione).

    Il vettore accelerazione centripeta permette alla velocità di variare direzione, ed è orientato perpendicolarmente al vettore velocità tangenziale, e quindi è diretta lungo il raggio. Se il corpo improvvisamente perdesse l'accelerazione centripeta il moto proseguirebbe nella direzione della tangente al cerchio.


Periodo



Il periodo è il tempo in cui un corpo impiega per completare un giro completo, che non necessariamente deve essere circolare (ad esempio ellittica, come l'orbita dei pianeti).


Nel caso che stiamo studiando, ossia con traiettoria circolare, sappiamo che:

  • un giro completo è la lunghezza della circonferenza di raggio r ossia ;

  • la velocità tangenziale, essendo costante, è ;

  • il periodo quindi è


Il periodo T, misurato in s, è il tempo impiegato per compiere un gir completo.



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Frequenza



La frequenza è strettamente legata al periodo dalla relazione:




La sua unità di misura è (Herz).


La frequenza può anche essere calcolata come il rapporto tra il numero di giri completi N e l'intervallo in cui vengono contati i giri, ossia:




La frequanza è definita come il reciproco del periodo, ossia:




La frequenza per N giri in un intervallo è:




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Velocità angolare e legge oraria del moto circolare uniforme



La velocità angolare è definita come il rapporto tra l'angolo misurato in radianti e l'intervallo di tempo in cui viene spazzato tale angolo (vedi figura 2), ossia:




Da cui deduciamo la sua unità di misura:




Possiamo esplicitare dall'equazione di :



In generale, se scegliamo variabile nel tempo:




Questa equazione è nota come legge oraria del moto circolare uniforme.


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Le equazioni dei moti di rotazione in fisica utilizzano sempre l'angolo espresso in radianti!


Il cerchio completo misura 360 gradi, in radianti, invece, è radianti. La differenza tra gradi e radianti è solo questa, che è una diversa unità di misura. Per passare dall'uno all'altro basta tener presente la seguente proporzione:




Dall'equazione di :




Inoltre, chiariamo che la velocità angolare ha una natura vettoriale, direzione uguale a quella dell'asse di rotazione (cioè perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il centro) e verso rivolto in alto se il corpo ruota in senso antiorario.




L'angolo spazzato in funzione della velocità angolare è:




La legge oraria del moto circolare uniforme è:




La velocità angolare in fuzione del periodo e della frequenza è:




Nel moto circolare uniforme, la velocità angolare è costante.



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Velocità tangenziale



La velocità periferica è la velocità con cui il punto si muove lungo la circonferenza. Nel moto circolare uniforme tale velocità è costante in modulo. Ossia, lo spazio percorso in forma vettoriale è lo stesso del moto uniforme, cioè:




Dove è il vettore spostemento, cioè il vettore che va dal punto iniziale al punto finale del moto (notiamo che se per esempio un corpo compie un giro completo il vettore spostamento ha punto iniziale e finale che coincidono ed è per questo nullo). in forma scalare (cioè non vettoriale) abbiamo:




Questo percorso è anche la lunghezza dell'arco di cerchio fatto dal corpo durante tempo t. Ricordiamo come si calcola: Parti del cerchio e della circonferenza| Arco di circonferenza:



La velocità periferica è il prodotto della velocità angolare per il raggio del cerchio:




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Accelerazione centripeta



Più volte abbiamo già detto che la velocità tangenziale è costante in modulo e solo la direzione è cambiata. Vediamo la figura 3!


Figura 3: L'accelerazione centripeta



Nella figura 3 abbiamo traslato i vettori delle velocità tangenziali ( e ) finchè abbiano lo stesso punto di applicazione, notiamo dalle leggi della geometria che l'angolo tra i due vettori coincide con l'angolo spazzato, ci aiutiamo con il grafico seguente:


Figura 4: Gli angoli e sono uguali



Quest'angolo vale:




Il vettore cambia direzione e diventa , possiamo scrivere questa variazione in termini di un vettore accelerazione, ossia:




è l'accelerazione centripeta.


Sappiamo che:




o guardando la figura 3, in cui il raggio è :




Calcoliamo l'accelerazione centripeta:



Riassumiamo: ci sono due formule equivalenti dell'accelerazione centripeta:








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redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto