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Momento angolare



Se un corpo di massa m si muove in linea retta con velocità , sappiamo che ha una quantità di moto pari a:




Analogamente se lo stesso corpo che si muove di moto circolare uniforme con una velocità angolare su una traiettoria circolare di raggio . In questo caso diciamo che l’oggetto ha un momento angolare, o momento della quantità di moto, pari a (in seguito vedremo in dettaglio):




Figura 1: Un punto P che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità ha un momento angolare rispetto al punto O.



In questo capitolo studiamo due nuove grandezze fisiche, che sono strettamente correlate tra loro e al momento della forza:

  • momento di inerzia,

  • momento angolare.


Il momento d'inerzia



L'equivalente della massa nel caso rotazionale è il momento di inerzia. Ricordiamo che la massa di un corpo è la misura della sua inerzia, cioè della resistenza che un corpo soggetto a forze oppone a tutte le variazioni del suo stato di quiete o di moto. Lo stesso è il momento d'inerzia, cioè la resistenza che un corpo soggetto a momenti di forze fa alla variazione di moto o quiete.


Vedremo di seguito il momento di inerzia nel caso di un punto materiale e poi di un punto materiale.


Il momento d'inerzia di un corpo di particelle



Supponiamo di avere un corpo che ruota con moto uniformemente accelerato; su di esso agiscono due forze (figura 2):


Figura 2: Un corpo che si muove di moto circolare uniformemente accelerato



La forza centripeta è la forza che permette al corpo di ruotare. E 'uguale al prodotto della massa e accelerazione centripeta:







Poiché la velocità tangenziale varia con il tempo anche l'accelerazione centripeta varia nel tempo.


La seconda forza è la forza tangenziale . In conformità alla seconda legge di Newton sapendo che l'accelerazione tangenziale è , la forza è:



Vediamo la 2° legge di Newton:




L'equazione (1) è ottenuta sostituendo F con M, e m con I e l'accelerazione a con l'accelerazione angolare abbiamo:




La relazione che lega il momento della forza al momento di inerzia è descritta dalla seguente relazione (equazione cardinale della dinamica):




L'accelerazione angolare è:




Il momento d'inerzia di una particella del corpo è:




Il momento d'inerzia di un corpo rigido



Consideriamo adesso un corpo rigido di forma qualsiasi, che ruota attorno ad un asse a nostra scelta, come mostrato in figura 3.


Figura 3: Il momento d'inerzia di un corpo rigido.



Il corpo è diviso in n piccoli blocchi con una massa . Ogni blocchettino dista dall'asse di rotazione, cioè il primo blocco ha il suo momento di inerzia:




il secondo blocco:




l'i-esimo arbitraria blocco, però:




Il momento d'inerzia del corpo intero è uguale alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti da cui è formato:



Il momento d'inerzia di un corpo rigido è la somma dei momenti di inerzia delle singole parti che formano il corpo rispetto allo stesso asse di rotazione:




Esempio

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I momenti di inerzia delle forme geometriche più notevoli sono già calcolate:



Momento angolare



Come abbiamo visto nel capitolo sulla Quantità di moto, il prodotto della forza F agente su un corpo di massa m per l'intervallo in cui essa agisce è proprio la quantità di moto q del corpo. Ci aspettiamo una relazione simile nel caso rotazionale, come per il secondo principio della dinamica vista sopra. Quindi calcoliamo il prodotto del momento delle forze per l'intervallo in cui esso agisce.

Moltiplichiamo ambo i membri di per :



Abbiamo definito il momento angolare come prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare:




Ma come abbiamo visto prima, il momento angolare è un vettore, con le seguenti caratteristiche:

  • modulo: ;

  • direzione: la stessa del vettore , o in altri termini lungo la perperndicolare al piano contenente il raggio e la velocità (vedi figura 1);

  • verso: dato dal segno della mano destra.


Il momento angolare è un vettore dato dal prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare:




Il teorema del momento angolare



Abbiamo ricavato che:




Utilizzando il momento di inerzia abbiamo:




L'espressione appena scritta è chiamata teorema del momento angolare.


Se un momento delle forze per un certo intervallo di tempo agisce su un corpo, che può ruotare intorno a un asse, allora la variazione del momento angolare è:




Esempio

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Il teorema della conservazione del momento angolare



In assenza di momenti esterni, il momento angolare è costante, infatti:



In assenza di momenti esterni, il momento angolare è costante:




o anche:




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redattore del materiale didattico: Alessandro Dell'Orto