Il calcolo dell'integrale indefinito è l'operazione inversa a quella della derivazione.
Consiste nella ricerca della famiglia di funzioni le cui derivate sono uguali alla funzione data.
Come una salita percorsa nel senso inverso è una discesa, così l'integrale indefinito è l'inverso della derivata.
Una funzione F(x) che derivata dà f(x) si chiama primitiva rispetto ad f(x), possiamo descrivere la formula dell'integrale indefinito come:
Visto che la derivata di una costante è uguale a zero, anche tutte le funzioni ottenute dalla primitiva sommando o sottraendo una costante sono soluzioni dell’integrale: si aggiunge quindi una costante arbitraria k alla soluzione.
Di seguito è riportata la tabella dei principali integrali indefiniti.
Vediamo le proprietà principali degli integrali.
L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:
L’integrale di una somma (o sottrazione) di funzioni è uguale alla somma (o sottrazione) degli integrali delle singole funzioni.
Per risolvere efficacemente gli integrali è necessario capire quale è il metodo più adatto allo scopo.
Il metodo di sostituzione è molto utile per risolvere funzioni composte. Seppure la sua spiegazione possa sembrare leggermente complicata, il suo uso nella pratica si può rivelare decisamente più semplice.
Il primo passo è l'opportuna scelta di una funzione invertibile g tale che la sostituzione x = g(t) possa semplificare la funzione composta iniziale f(x).
Contestualmente alla sostituzione si calcola il differenziale nella nuova variabile d'integrazione t: semplicemente derivando a destra e sinistra l'eguaglianza x = g(t) si ottiene dx = g'(t) dt.
L'integrale iniziale si può ora riscrivere così nella variabile t:
Una volta trovata la soluzione per l'integrale rispetto a 
sostituiamo ad esso la funzione inversa di g applicata a x, 
(infatti da 
si ha 
), ottenendo la soluzione dell'integrale nella variabile di partenza x.
Il metodo di integrazione per parti si usa per risolvere quegli integrali la cui funzione è il prodotto di due funzioni f e g, entrambe derivabili.
Partendo dalla definizione di derivata di funzione composta possiamo dimostrare la formula.
Vediamo un esempio.
Quando la funzione integrale è composta dalla divisione di due polinomi allora possiamo applicare regole apposite.
Consideriamo
dove 
sono polinomi in x.
Consideriamo i gradi dei due polinomi, si possono presentare 2 casi:
grado 
grado 
grado 
grado
Se il grado di f è maggiore a quello di g è possibile eseguire la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x) tali che:
Quindi l'integrale iniziale si può scrivere come la somma di due integrali.
In questo modo otteniamo un integrale di una funzione non fratta Q(x) e quello di una funzione fratta in cui il numeratore ha grado minore del denominatore e possiamo, se la difficoltà lo richiede, ricondurci al secondo caso.
In caso di funzioni polinomiali di secondo grado, l'integrale da risolvere è del tipo:
Possiamo distinguere, in base al valore del discriminante tre casi:
Denominatore con due radici reali distinte
Se 
si hanno come soluzioni due radici reali distinte possiamo quindi dire che:
Per trovare A e B utilizziamo il Principio di Identità dei Polinomi
Possiamo adesso utilizzare il seguente sistema:
Una volta risolto sostituiamo nell'integrale di partenza ottenendo:
Potete trovare un esempio qui.
Denominatore con una radice reale
Se 
si hanno come soluzioni due radici reali coincidenti possiamo quindi dire che:
Procediamo come nel caso precedente.
Potete trovare un esempio qui.
Denominatore con due radici complesse coniugate
Se 
allora il denominatore non può essere scomposto possiamo però portare la nostra frazione nella forma:
Ricaviamo quindi A e B utilizzando anche in questo caso il Principio di Identità dei Polinomi
Possiamo in seguito risolvere il primo addendo:
In modo da poter utilizzare la formula di integrazione per gli integrali principali ottenendo:
Invece per il secondo addendo dobbiamo trovare dei valori E e F tali che:
In modo da poter calcolare il seguente integrale ottenendo:
Possiamo trovare un esempio qui.
