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Integrali definiti



Un integrale definito si indica con la scrittura




dove è detto estremo inferiore e è detto estremo superiore dell'integrale.


Il calcolo di un integrale definito serve a determinare l'area di una superficie piana delimitata da contorni curvilinei. In particolare, se consideriamo la scrittura precedente, l'integrale definito servirà a calcolare l'area della superficie piana compresa tra:

  • la curva descritta dalla funzione f(x), continua e non negativa

  • l'asse delle ascisse

  • le parallele all'asse delle ordinate passanti per i punti di ascissa e , ovvero dalle rette di equazione e





Definizione di integrale definito



Questo paragrafo è destinato agli studenti che desiderano approfondire la teoria che sta alla base del concetto di integrale definito. Gli studenti che sono interessati esclusivamente all'applicazione pratica finalizzata al calcolo delle aree possono tralasciarlo e passare ai paragrafi successivi.



Vogliamo calcolare l'area della superficie piana all'interno dell'intervallo compresa tra la curva della funzione f(x) e dall'asse delle ascisse, così come rappresentata graficamente in precedenza.


Dividiamo dunque l'intervallo in tanti intervalli più piccoli:




L'ampiezza degli intervalli è data da:




Dividiamo ulteriormente ogni intervallo, individuando all'interno di ciascuno di essi un punto di ascissa tale che:




Disegniamo ora tanti rettangoli aventi come base l'ampiezza degli intervalli individuati e per altezza i punti della funzione così come rappresentato nella figura seguente:




L'area di ciascuno di tali rettangoli sarà data dal prodotto:


.


Se sommiamo le aree di tutti i rettangoli, otterremo una misura approssimata dell'area della superficie piana delimitata dalla curva , dall'asse delle ascisse e dalle rette e :




Se però consideriamo intervalli sempre più piccoli rispetto a quelli considerati, la somma delle aree dei rettangoli nell'intervallo si avvicinerà sempre di più alla misura reale dell'area della superficie piana che stiamo cercando


Quanto appena affermato equivale a calcolare il limite:




Tale limite è detto integrale definito.


L'integrale definito di una funzione nell'intervallo è dato dal limite




con il numero di punti individuati per suddividere l'intervallo in intervalli più piccoli tendente all'infinito e l'ampiezza di tali intervalli tendente a :




Il valore è il limite inferiore e il valore è il limite superiore dell'integrale definito.




Significato geometrico dell'integrale definito



Questo capitolo riguarda esclusivamente il significato geometrico degli integrali definiti. Esempi di calcolo integrale saranno trattati successivamente.



Come abbiamo visto, dal punto di vista geometrico, l'integrale definito di una funzione continua nell'intervallo rappresenta l'area della superficie piana delimitata dalla curva nell'intervallo :


Il valore dell'integrale definito della funzione equivale all'area della superficie colorata.



Se S è l'area della superficie suddetta, avremo quindi:




Relazione tra integrale indefinito e definito di una funzione



La relazione esistente tra integrale indefinito e definito di una funzione è espressa dalla formula di Newton-Leibniz ovvero dal teorema fondamentale del calcolo integrale:


Se è una funzione continua nell'intervallo e una qualunque sua primitiva, l'integrale indefinito di sarà:




e dunque:




che possiamo anche rappresentare con la scrittura:




L'integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti dai rispettivi integrali indefiniti della funzione rispettivamente nell'estremo superiore e inferiore dell'integrale stesso.




In pratica ciò significa che, per calcolare l'integrale definito della funzione nell'intervallo , possiamo risolvere prima l'integrale indefinito di per trovare una sua qualunque primitiva , quindi trovare i valori che assume nell'estremo inferiore e sottrarlo dal valore che essa assume nell'estremo superiore .


Esempio

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Proprietà degli integrali definiti



L'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni:





Se è una funzione derivabile nell'intervallo allora:





Posto , allora avremo:





Posto , invertire il verso dell'intervallo equivale a cambiare di segno l'integrale:





Se gli estremi dell'intervallo coincidono, allora l'integrale è zero:





L'integrale del prodotto di una costante per una funzione equivale al prodotto tra la costante e l'integrale della funzione:





Valore medio di una funzione



Se la funzione è continua nell'intervalle , esiste almeno un punto interno all'intervallo, tale che:




Il valore viene detto valore medio della funzione nell'intervallo considerato.


Il valore medio della funzione nell'intervallo è:




Applicazioni dell'integrale definito



Calcolo dell'area compresa tra una curva e l'asse delle ascisse



L'integrale definito della funzione continua nell'intervallo corrisponde all'area della superficie piana delimitata dalla curva e l'asse delle ascisse nell'intervallo :


Il valore dell'integrale definito corrisponde all'area colorata.



Se indichiamo con S l'area della superficie suddetta, avremo:




Vediamo un esempio e consideriamo una funzione che, nell'intervallo , sia continua e negativa :




allora anche l'integrale definito della funzione ha un valore negativo. Ma poiché non ha senso parlare di aree negative, dobbiamo considerare il valore assoluto ottenuto dall'integrale. In altre parole, l'area della superficie piana compresa tra la curva , l'asse delle ascisse e le rette e , corrisponde al valore dell'integrale definito della funzione, cambiato di segno:




In base a quanto affermato, dunque, l'area di una superficie delimitata da una funzione f(x) in un dato intervallo e dall'asse delle ascisse, corrisponde sempre al valore assoluto dell'integrale definito in quell'intervallo:





Vediamo un altro esempio e consideriamo una funzione che, nell'intervallo , sia continua e che assuma valori sia positivi che negativi:




L'integrale definito corrisponde alla differenza tra l'area della superficie delimitata dalla funzione al di sopra dell'asse delle ascisse e l'area della superficie delimitata dalla funzione al di sotto dell'asse delle ascisse. Poiché, però, come abbiamo visto, per l'area al di sotto dell'asse delle ascisse l'integrale restituisce un valore negativo, quanto appena detto equivale a sommare l'integrale della funzione nell'intervallo positivo e il valore assoluto della funzione nell'intervallo negativo:





Calcolo dell'area compresa tra i grafici di due funzioni



Vediamo ora come calcolare l'area della superficie piana compresa tra due curve in un sistema di assi cartesiani, all'interno di un intervallo definito e al di sopra dell'asse delle ascisse.


Consideriamo le funzioni e :




L'area della superficie compresa tra le funzioni e continue nell'intervallo , e tali che, per qualsiasi valore di nel suddetto intervallo sia , sarà data da:




Vediamo più nel dettaglio quanto affermato.



Caso 1: f(x) e g(x) nell'intervallo [a,b] si trovano al di sopra dell'asse delle ascisse



Consideriamo il caso in cui le funzioni e siano continue e positive nell'intervallo . Supponiamo inoltre che il grafico della funzione sia tracciato al di sopra del grafico della funzione per qualunque valore di nell'intervallo considerato:




Vogliamo calcolare l'area della superficie piana compresa tra la curva e la curva nell'intervallo :




Calcoliamo per prima l'area della superficie delimitata dalla curva e l'asse delle ascisse:




Sappiamo che nell'intervallo l'area di tale superficie corrisponde all'integrale definito:




Analogamente, calcoliamo l'area della superficie piana compresa tra la curva e l'asse delle ascisse:




L'area di tale superficie è data da:




Stiamo però cercando l'area della superficie piana compresa tra le due curve:




Come si può vedere dalla figura, tale area corrisponde alla differenza delle aree:




ovvero:





Caso 2: f(x) e g(x) nell'intervallo [a,b] si trovano al di sotto dell'asse delle ascisse



Consideriamo le funzioni e :




Se i grafici delle funzioni e si trovano al di sotto dell'asse delle ascisse nell'intervallo , possiamo aggiungere a entrambe le funzioni una costante positiva , sufficientemente grande, tale che le curve siano traslate oltre l'asse delle ascisse.




Pur considerando le nuove funzioni e , l'area della superficie che desideravamo calcolare non cambia (resta uguale a quella originale). Possiamo quindi calcolare l'area della superficie tratteggiata nel seguente modo:




L'area della superficie delimitata dalla funzione e l'asse delle ascisse è:




L'area della superficie delimitata dalla funzione e l'asse delle ascisse è:




La differenza tra le due aree sarà data da:




Poiché sappiamo che l'integrale di una somma equivale alla somma degli integrali:




e che, come possiamo vedere, gli integrali della stessa costante si annullano tra loro, avremo che l'area della superficie desiderata è data da:





Volume dei solidi di rotazione



Se ruotiamo di 360° intorno all'asse delle ascisse la superficie piana compresa tra la funzione e l'asse delle ascisse stesso nell'intervallo , otterremo un solido di rotazione.


Curva della funzione ruotata di 360° intorno all'asse x.



Il volume dei solidi ottenuti dalla rotazione di una funzione per 360° intorno all'asse delle ascisse è dato dall'integrale definito:



redattore del materiale didattico: Carmine Albanese