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Grafici delle funzioni sin x e cos x



Sappiamo già disegnare i grafici di base di seno e coseno.


Vedremo ora le trasformazioni dei grafici delle funzioni:


  • Dilatazione (contrazione) lungo l'asse delle ordinate y


  • Dilatazione (contrazione) lungo l'asse delle ascisse x


  • Traslazione lungo l'asse delle ordinate (spostamento della funzione in verticale lungo l'asse y)


  • Traslazione lungo l'asse delle ascisse ( spostamento della funzione in orizzontale lungo l'asse x)


Il valore dell'angolo α si misura in radianti. Questo significa che il valore dell'angolo giro è 3.14159... e non 180°.



Grafici di forma f(x) = A sin(x), g(x) = A cos(x)



Moltiplichiamo la funzione sin x (o cos x) per A, laddove . Ne ricaviamo la nuova funzione:




oppure




Il valore A è l'ampiezza della funzione. Se


  • , si ha la dilatazione della funzione lungo l'asse y;


  • , si ha la contrazione della funzione lungo l'asse y.



Se A < 0 semplicemente specchiamo la funzione sull'asse delle ascisse.



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Grafici di forma f(x) = sin(k x), g(x) = cos(k x)



Se moltiplichiamo x per il parametro k otteniamo la dilatazione (o la contrazione) della funzione lungo l'asse x.


Il valore k è la frequenza della funzione, che ci dà il numero di oscillazioni per la lunghezza di un periodo della funzione.


Maggiore è la frequenza, minore sarà il periodo. Se:


  • , la funzione si dilata lungo l'asse x;


  • , la funzione si contrae lungo l'asse x.



Periodo di base delle funzioni seno e coseno



Il periodo di base è la lunghezza coperta dalla funzione prima di iniziare a ripetersi (il periodo di base rispecchia una rivoluzione del cerchio unitario).


Il modo più semplice di visualizzare il periodo base è utilizzando i grafici:




  • Nel primo grafico (rosso) abbiamo il periodo base pari a (infatti a la funzione inizia a ripetersi).

  • Nel secondo grafico (verde) abbiamo il periodo base pari a (infatti a la funzione inizia a ripetersi).

  • Nel terzo grafico (blu) abbiamo semplicemente il periodo base ( infatti a la funzione inizia a ripetersi).



Concludiamo:


Il periodo di base della funzione o è




Se:

  • , il periodo è minore di


  • , il periodo è maggiore di



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Grafici di forma f(x) = sin(x) + n, f(x) = cos(x) + n



Con la traslazione della funzione lungo l'asse y spostiamo la funzione nel sistema di coordinate verso l'alto (n > 0) o verso il basso (n < 0).


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Grafici di forma f(x) = sin(x - a), g(x) = cos(x - a)



Con la traslazione della funzione lungo l'asse x spostiamo la funzione nel sistema di coordinate verso destra o verso sinistra.


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Grafici di forma f(x) = A sin (x - a) + n, g(x)= A cos (x - a) + n



Le due equazioni sono formulate nella forma più semplice possibile.






Tracciamo i grafici utilizzando le nozioni apprese nei punti precedenti.


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Autore principale e redattore del materiale didattico: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.