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Equazioni e disequazioni esponenziali



Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l'incognita compare come esponente di una potenza.


Dal punto di vista grafico, risolvere un'equazione esponenziale vuol dire trovare i punti di intersezione di una funzione esponenziale con qualsiasi altro tipo di funzione (lineare, quadratica, esponenziale...)


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Risoluzione di equazioni esponenziali



Il metodo di risoluzione di un'equazione esponenziale varia a seconda del tipo di equazione.


Equazioni esponenziali con riduzione alla stessa base



Alcune equazioni esponenziali possono essere risolte solo se tutte le potenze presenti nell'equazione sono ridotte alla stessa base:




In questo modo, perché sia soddisfatta l'uguaglianza, basterà imporre come condizione che anche gli esponenti siano uguali:




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Equazioni esponenziali con diverse basi e stessi esponenti



Queste sono equazioni che assumono la forma:




Sappiamo che funzioni esponenziali con basi diverse hanno come unico punto in comune il punto di coordinate (0,1) che è proprio il punto di intersezione con l'asse delle ordinate (x = 0). Perché sia verificata l'uguaglianza l'esponente deve quindi essere uguale a zero:




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Risoluzione con l'introduzione di nuove incognite



Vediamo questo metodo con un esempio.


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Risoluzione grafica



Nei casi in cui l'equazione non può essere risolta con i metodi precedenti, l'unico metodo possibile è quello grafico. In questo caso, bisognerà disegnare i grafici delle funzioni presenti ai due membri dell'uguaglianza ed individuarne i punti di intersezione.


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Risoluzione con raccoglimento a fattor comune



Quando in un'equazione esponenziale abbiamo una somma o una differenza di potenze con stessa base, possiamo effettuare un raccoglimento a fattor comune per ricondurre l'equazione ad una delle forme note viste in precedenza.


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Risoluzione con i logaritmi



Possiamo utilizzare i logaritmi per risolvere equazioni esponenziali del tipo:




In questo caso, possiamo trovare la soluzione utilizzando le equazioni logaritmiche.


Disequazioni esponenziali



Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l'incognita compare come esponente di una potenza.

Queste disequazioni sono solitamente risolte in modo grafico, ovvero tracciando il grafico delle funzioni che compaiono nella disequazione. E' possibile risolverle tuttavia anche in modo matematico.


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redattore del materiale didattico: Carmine Albanese