Disequazioni numeriche frazionarie
 

Disequazioni di primo grado



La disequazione è una diseguaglianza che è verificata per certi intervalli di valori


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Maggiore e minore



Alla base del concetto di disequazione c'è quello di maggiore (>) e minore (<). I due simboli derivano dalla teoria degli insiemi. Supponiamo di avere due insiemi (A e B).




Andiamo a contare gli elementi all'interno di ciascun insieme, creando con questi elementi due colonne (A e B).




Ora congiungiamo gli estremi delle colonne. In questo modo si ottiene il simbolo maggiore (>):




Così invece si ottiene il simbolo minore (<):




Se gli insiemi contengono lo stesso numero di oggetti, con lo stesso procedimento usato in precedenza otteniamo il simbolo uguale (=):




Tipi di disequazioni



Si chiama disequazione di primo grado un'espressione che lega due polinomi e , entrambi di primo grado in , come segue:




  • A è maggiore di B




  • A è minore di B




  • A è maggiore o uguale a B




  • A è minore o uguale a B


Per quanto riguarda i termini utilizzati: primo membro, secondo membro, incognita, grado essi hanno lo stesso significato che presentano nel caso delle equazioni.

Altrettanto si può dire delle proprietà (sommando/sottraendo la stessa quantità ai due membri, moltiplicando/dividendo per un numero diverso da zero entrambi i membri il risultato non cambia).


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Come per le equazioni, anche nel caso delle disequazioni esistono quelle di grado superiore al primo.


Le disequazioni di secondo grado hanno grado pari a 2, come




Risolvere una disequazione di primo grado



Mentre nel caso di un’equazione di primo grado la soluzione (se esiste) è unica, nel caso di una disequazione la soluzione è, alternativamente:


  • un insieme di valori reali (un intervallo, a volte infinito, di valori);


  • l’insieme vuoto, quindi nessun valore.


La ricerca delle soluzioni,di una disequazione di primo grado si effettua con le stesse modalità con cui si affronta un’equazione di primo grado: si trasportano tutti i termini contenenti la a primo membro e quelli privi della a secondo membro.


Bisogna tenere presente una regola fondamentale nelle disequazioni: nel caso in cui a primo membro il coefficiente della sia negativo occorre:


  • moltiplicare per sia il primo che il secondo membro;

  • cambiare il verso della disuguaglianza, così che diventi (e viceversa).



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Perchè giriamo il segno di maggiore e minore quando moltiplichiamo entrambi i membri per un numero negativo? E' facile se consideriamo questo esempio. E' vero che 8 e maggiore di 4.




Moltiplichiamo entrambi i numeri per - 1 e ci accorgiamo che l'espressione matematica è falsa.




Infatti -8 è minore di -4. L'espressione diventa dunque, scambiando il maggiore con un minore:




Le disequazioni di primo grado intere



Le disequazioni di primo grado intere sono quelle in cui l'incognita si trova solo al numeratore. Il procedimento utilizzato per risolvere tali disequazioni è il seguente:


Procedimento per risolvere una disequazione di primo grado intera:


  • Si eseguono i calcoli.

  • Si spostano i termini con la al primo membro e quelli senza la al secondo membro. I termini che si spostano da un membro all'altro devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.

  • Si sommano i termini simili.

  • Se davanti alla c’è un numero negativo si cambiano i segni e si gira il verso della disequazione.

  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .



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Un caso particolare di fronte al quale ci si può trovare è quello in cui la scompare. In questo caso a primo membro c’è lo zero ed a secondo membro un numero.


Si hanno quindi due possibilità:


  • La disequazione che ne risulta è vera: allora tutti i valori della sono soluzioni. La disequazione si dice INDETERMINATA. Ad esempio:




  • La disequazione che ne risulta è falsa: allora nessun valore della è soluzione. La disequazione si dice IMPOSSIBILE. Ad esempio:





Le disequazioni di primo grado fratte



Le disequazioni di primo grado fratte sono quelle in cui l'incognita compare al denominatore. Esse si presentano nella forma:




Bisogna ricordare in questo caso, come accade per le equazioni, che:


E' assolutamente vietato dividere un numero per 0. Bisogna quindi escludere dalle possibili soluzioni tutti i valori che annullano il denominatore.



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Il procedimento utilizzato per risolvere questo tipo di equazioni è il seguente:


  • Si studiano separatamente numeratore e denominatore studiando quando entrambi sono indipendentemente dal verso della disequazione.


  • Si spostano i termini con la a 1° membro e quelli senza la a secondo membro. I termini che si spostano da un membro all'altro devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.


  • Si sommano i termini simili.


  • Se davanti alla c’è un numero negativo si cambiano i segni e si gira il verso della disequazione.


  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .


  • I risultati così trovati si pongono in una tabella contenente linee continue oppure tratteggiate analogamente a quanto visto per le disequazioni intere: una riga riguarderà il numeratore,l'altra il denominatore.


  • L'insieme delle soluzioni sarà dato dagli intervalli in cui l'intera frazione assume il segno richiesto dall'esercizio.




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Disequazioni indeterminate



Ci possono essere due casi di disequazione indeterminata:


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo ovvero e lo zero è sempre maggiore di un qualsiasi numero negativo.


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  • se , con e . Infatti in questo caso avremo ovvero e lo zero è sempre minore di un qualsiasi numero positivo.


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Disequazioni impossibili



Ci possono essere due casi di disequazione impossibile:


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo cosa impossibile in quanto lo zero è sempre minore di qualsiasi numero

    positivo.


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  • se , con e . Infatti in questo caso avremo cosa impossibile in quanto lo zero è sempre maggiore di qualsiasi numero

    negativo.


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Disequazioni letterali



Le disequazioni letterali sono quelle in cui compaiono altre lettere oltre all'incognita, del tipo:










Il procedimento è lo stesso utilizzato per risolvere le disequazioni intere e fratte.


Ci sono però due differenze:


  • Una volta portate le da una parte e il resto dall'altra si mette in evidenza la e poi si divide per il coefficiente della ;


  • Nel risultato spesso ci sono delle lettere al denominatore. In questi casi bisogna discutere la soluzione.



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redattore del materiale didattico: Anna Lanza