Disequazioni numeriche intere fb
 

Disequazioni di primo grado



La disequazione è una diseguaglianza che è verificata per certi intervalli di valori


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Maggiore e minore



Alla base del concetto di disequazione c'è quello di maggiore (>) e minore (<). I due simboli derivano dalla teoria degli insiemi. Supponiamo di avere due insiemi (A e B).




Andiamo a contare gli elementi all'interno di ciascun insieme, creando con questi elementi due colonne (A e B).




Ora congiungiamo gli estremi delle colonne. In questo modo si ottiene il simbolo maggiore (>):




Così invece si ottiene il simbolo minore (<):




Se gli insiemi contengono lo stesso numero di oggetti, con lo stesso procedimento usato in precedenza otteniamo il simbolo uguale (=):




Tipi di disequazioni



Si chiama disequazione di primo grado un'espressione che lega due polinomi e , entrambi di primo grado in , come segue:




  • A è maggiore di B




  • A è minore di B




  • A è maggiore o uguale a B




  • A è minore o uguale a B


Per quanto riguarda i termini utilizzati: primo membro, secondo membro, incognita, grado essi hanno lo stesso significato che presentano nel caso delle equazioni.

Altrettanto si può dire delle proprietà (sommando/sottraendo la stessa quantità ai due membri, moltiplicando/dividendo per un numero diverso da zero entrambi i membri il risultato non cambia).


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Come per le equazioni, anche nel caso delle disequazioni esistono quelle di grado superiore al primo.


Le disequazioni di secondo grado hanno grado pari a 2, come




Risolvere una disequazione di primo grado



Mentre nel caso di un’equazione di primo grado la soluzione (se esiste) è unica, nel caso di una disequazione la soluzione è, alternativamente:


  • un insieme di valori reali (un intervallo, a volte infinito, di valori);


  • l’insieme vuoto, quindi nessun valore.


La ricerca delle soluzioni,di una disequazione di primo grado si effettua con le stesse modalità con cui si affronta un’equazione di primo grado: si trasportano tutti i termini contenenti la a primo membro e quelli privi della a secondo membro.


Bisogna tenere presente una regola fondamentale nelle disequazioni: nel caso in cui a primo membro il coefficiente della sia negativo occorre:


  • moltiplicare per sia il primo che il secondo membro;

  • cambiare il verso della disuguaglianza, così che diventi (e viceversa).



Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Perchè giriamo il segno di maggiore e minore quando moltiplichiamo entrambi i membri per un numero negativo? E' facile se consideriamo questo esempio. E' vero che 8 e maggiore di 4.




Moltiplichiamo entrambi i numeri per - 1 e ci accorgiamo che l'espressione matematica è falsa.




Infatti -8 è minore di -4. L'espressione diventa dunque, scambiando il maggiore con un minore:




Le disequazioni di primo grado intere



Le disequazioni di primo grado intere sono quelle in cui l'incognita si trova solo al numeratore. Il procedimento utilizzato per risolvere tali disequazioni è il seguente:


Procedimento per risolvere una disequazione di primo grado intera:


  • Si eseguono i calcoli.

  • Si spostano i termini con la al primo membro e quelli senza la al secondo membro. I termini che si spostano da un membro all'altro devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.

  • Si sommano i termini simili.

  • Se davanti alla c’è un numero negativo si cambiano i segni e si gira il verso della disequazione.

  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .



Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Un caso particolare di fronte al quale ci si può trovare è quello in cui la scompare. In questo caso a primo membro c’è lo zero ed a secondo membro un numero.


Si hanno quindi due possibilità:


  • La disequazione che ne risulta è vera: allora tutti i valori della sono soluzioni. La disequazione si dice INDETERMINATA. Ad esempio:




  • La disequazione che ne risulta è falsa: allora nessun valore della è soluzione. La disequazione si dice IMPOSSIBILE. Ad esempio:





Le disequazioni di primo grado fratte



Le disequazioni di primo grado fratte sono quelle in cui l'incognita compare al denominatore. Esse si presentano nella forma:




Bisogna ricordare in questo caso, come accade per le equazioni, che:


E' assolutamente vietato dividere un numero per 0. Bisogna quindi escludere dalle possibili soluzioni tutti i valori che annullano il denominatore.



Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »



Il procedimento utilizzato per risolvere questo tipo di equazioni è il seguente:


  • Si studiano separatamente numeratore e denominatore studiando quando entrambi sono indipendentemente dal verso della disequazione.


  • Si spostano i termini con la a 1° membro e quelli senza la a secondo membro. I termini che si spostano da un membro all'altro devono essere cambiati di segno, quelli che non si spostano restano con lo stesso segno.


  • Si sommano i termini simili.


  • Se davanti alla c’è un numero negativo si cambiano i segni e si gira il verso della disequazione.


  • Si dividono ambo i membri per il numero davanti alla .


  • I risultati così trovati si pongono in una tabella contenente linee continue oppure tratteggiate analogamente a quanto visto per le disequazioni intere: una riga riguarderà il numeratore,l'altra il denominatore.


  • L'insieme delle soluzioni sarà dato dagli intervalli in cui l'intera frazione assume il segno richiesto dall'esercizio.




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »



Disequazioni indeterminate



Ci possono essere due casi di disequazione indeterminata:


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo ovvero e lo zero è sempre maggiore di un qualsiasi numero negativo.


    Esempio

    Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
     
     
    Registrati per vedere gli esempi »


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo ovvero e lo zero è sempre minore di un qualsiasi numero positivo.


    Esempio

    Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
     
     
    Registrati per vedere gli esempi »



Disequazioni impossibili



Ci possono essere due casi di disequazione impossibile:


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo cosa impossibile in quanto lo zero è sempre minore di qualsiasi numero

    positivo.


    Esempio

    Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
     
     
    Registrati per vedere gli esempi »


  • se , con e . Infatti in questo caso avremo cosa impossibile in quanto lo zero è sempre maggiore di qualsiasi numero

    negativo.


    Esempio

    Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
     
     
    Registrati per vedere gli esempi »



Disequazioni letterali



Le disequazioni letterali sono quelle in cui compaiono altre lettere oltre all'incognita, del tipo:










Il procedimento è lo stesso utilizzato per risolvere le disequazioni intere e fratte.


Ci sono però due differenze:


  • Una volta portate le da una parte e il resto dall'altra si mette in evidenza la e poi si divide per il coefficiente della ;


  • Nel risultato spesso ci sono delle lettere al denominatore. In questi casi bisogna discutere la soluzione.



Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »

redattore del materiale didattico: Anna Lanza