Definizione e significato di derivata di una funzione fb
 

Differenziale di una funzione e calcolo approssimato dei valori



In questo capitolo si parla del concetto di differenziale di una funzione. Come la parola stessa dice, si tratta di una differenza che una grandezza subisce quando varia la grandezza dalla quale essa dipende.


Nel caso di differenziale di una funzione quantifica la variazione infinitesimale della funzione rispetto ad una variabile indipendente.


Dopo aver dato una definizione di differenziale verrà affrontata una sua applicazione: il calcolo del valore approssimato delle funzioni.


Differenziale di una funzione



Riprendiamo brevemente il concetto di derivata di una funzione.


Data una funzione f(x) derivabile nel punto x, sappiamo che:




se indichiamo con:




possiamo scrivere che:




Per tendente a 0 (quindi molto piccolo), tende a ed analogamente tende a .


Otteniamo così la formula:




Formula del differenziale



Dalla formula ricavata precedentemente:




Otteniamo l'espressione con cui calcolare il differenziale, isolando il df.


Formula per calcolare il differenziale df:




Osserviamo il grafico sottostante, con una funzione e una retta tangente alla funzione nel punto di ascissa . Il differenziale di una funzione è l'incremento misurato sulla tangente invece che sulla funzione, al variare di x.


Al variare dell'ascissa di infatti la tangente ha un incremento di mentre la funzione ha un incremento di .


Tanto più piccolo è il valore attribuito all'incremento , tanto più piccola sarà la differenza fra il valore del differenziale e l'incremento della funzione stessa.




Vediamo alcuni esempi con il calcolo differenziale.


Esempio

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Vediamo ora un altro esempio.


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Calcolo approssimato del valore delle funzioni



Il differenziale viene spesso utilizzato per calcolare il valore approssimato di una funzione, quando questo risulta complesso da trovare.


Il valore approssimato di una funzione viene calcolato con la formula:




ossia:




Partendo dalla definizione di derivata:



Conosciamo il valore di f nel punto di ascissa . Osserviamo il grafico sottostante.


Occorre calcolare la f nel punto di ascissa . Sommiamo il valore della funzione nel punto di ascissa con l'incremento differenziale della funzione misurato sulla retta tangente.




Dal grafico si vede che si effettua un errore quando si usa tale equazione per il calcolo approssimato del valore della funzione.


Esempio

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redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto