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Circuito LC e risonanza



Il circuito risonante puro



Il circuito risonante è un circuito elettrico che serve per la generazione di una tensione alternata ad alta frequenza.

Il più semplice circuito elettrico risonante puro è composto da un induttore collegato in serie ad un condensatore: il fenomeno della risonanza si manifesta nel continuo scambio energetico tra condensatore ed induttore senza perdite di energia. A tale scambio energetico è associata una corrente di carica/scarica del condensatore ed una tensione indotta alternata nell'induttore, come illustrato in figura.






Per meglio comprendere il fenomeno, associamo il circuito ad un pendolo.


Fase di scarica del condensatore (a)



Supponiamo che inizialmente il condensatore possieda la carica e che non vi sia corrente circolante nel circuito (I=0): a questa situazione è associato un pendolo in equilibrio statico nel punto di massima energia potenziale e quindi fermo (v=0).

Tale situazione di equilibrio, però, è instabile in quanto destinata a mutare un istante di tempo immediatamente successivo quando le cariche sul polo negativo del condensatore inizieranno a muoversi verso il polo opposto producendo una corrente elettrica attraverso il circuito (e quindi attraverso l'induttore).


Fase di carica del condensatore (b)



Al fenomeno di scarica del condensatore e alla generazione di corrente è associato il movimento del pendolo da una estremità all'altra: nel punto mediano della traiettoria l'energia potenziale assumerà un minimo ad indicare la completa trasformazione dell'energia potenziale posseduta inizialmente dal pendolo in energia cinetica.

Per analogia, possiamo associare l'energia cinetica all'energia elettrostatica posseduta dal condensatore durante i processi di scarica e carica e l'energia cinetica all'energia magnetica posseduta dall'induttore durante il processo di magnetizzazione e smagnetizzazione.

La corrente dovuta allo spostamento delle cariche (I) assumerà il massimo valore nell'istante iniziale della fase di scarica e andrà diminuendo velocemente nel tempo.


Fase di scarica del condensatore (c)



La variazione della corrente nel tempo causa a sua volta di una variazione del flusso magnetico concatenato con l'induttore e quindi, per la legge di Faraday-Neumann, di una tensione indotta (V) ai suoi capi.

La tensione indotta, anch'essa variabile nel tempo, raggiungerà il valore massimo () disponendosi con polarità invertite rispetto a quelle del condensatore: durante questo processo, quindi, le cariche inizieranno a ridisporsi sulle armature del condensatore avviando una nuova fase di scarica.

Meccanicamente possiamo associare questa fase con la risalita del pendolo verso la posizione opposta a quella iniziale: l'energia cinetica inizia a diminuire mentre aumenta quella potenziale.


Fase di carica del condensatore (d)



Alla nuova scarica del condensatore seguirà, analogamente, una nuova fase di magnetizzazione dell'induttore e una conseguente tensione indotta in grado di caricare nuovamente il condensatore: il ciclo si ripete.

Il processo continuerà così con una fase di scarica (a) e via dicendo, ripetendosi all'infinito.



Effetto della variazione di tensione: corrente indotta



Supponiamo che la tensione ai capi del condensatore (e quindi ai capi dell'induttore collegato in parallelo) sia alternata sinusoidale a frequenza costante e che, di conseguenza, si possa esprimere come




dove è il valore di picco massimo ed è la pulsazione dell'onda sinusoidale:




La carica elettrica disposta sulle armature del condensatore e la tensione applicata sono strettamente correlate: se la tensione varia nel tempo così anche la carica presente sulle armature (vedi carica del condensatore) e se varia la carica presente nel tempo si genera una corrente elettrica:




Nell'espressione finale abbiamo raccolto alcuni termini costanti




i quali assumono il significato fisico di valore di picco della corrente generata.



In conclusione, abbiamo visto che se un condensatore è alimentato da una tensione sinusoidale del tipo




nel circuito inizia a circolare una corrente anch'essa sinusoidale con la medesima frequenza e periodo data dalla seguente espressione




dove






Grafico della tensione e corrente ai capi del condensatore in funzione dell'angolo misurato in radianti




Variazione istantanea della tensione



Questa sezione è rivolta agli studenti che hanno già affrontato il concetto matematico di derivata. Gli studenti senza alcuna base teorica possono saltare la sezione senza problemi.



Vogliamo dimostrare la seguente identità




dove




Il simbolo è spesso utilizzato al posto del simbolo e rappresenta una differenza, variazione od intervallo della variabile in questione (per esempio nel nostro caso indica una differenza di tempi ossia ). Con il simbolo , piuttosto che , indichiamo una differenza infinitesima, ossia una quantità infinitamente piccola: tale distinzione è importante nell'ambito delle derivate in quanto definite rigorosamente su differenze infinitesime.


L'equazione (i) diventa quindi




Il termine a sinistra rappresenta la derivata della funzione di tensione (v) rispetto al tempo, la quale è di tipo sinusoidale. Dalla teoria sappiamo che




e quindi, applicando le regole di derivazione per le costanti, otteniamo





Effetto della variazione di corrente: tensione indotta



A causa della variazione di flusso magnetico concatenato con l'induttore, la corrente elettrica induce una tensione ai suoi capi:




Ancora una volta abbiamo ottenuto una forma d'onda cosinusoidale analoga a quella del condensatore (per chiarire il concetto confrontala con l'espressione (2)). Questo è del tutto comprensibile poiché la tensione indotta ai capi dell'induttore è in ogni momento uguale alla tensione sul condensatore (tali componenti sono infatti collegati in parallelo).


L'espressione (4) rappresenta, quindi, la tensione indotta ai capi dell'induttore dalla corrente alternata circolante in un dato istante nel circuito LC di partenza.



Variazione istantanea della corrente



Questa sezione è rivolta agli studenti che hanno già affrontato il concetto matematico di derivata. Gli studenti senza alcuna base teorica possono saltare la sezione senza problemi.



Vogliamo dimostrare la seguente espressione




In precedenza abbiamo dedotto la seguente espressione per la corrente




Passiamo quindi alle variazioni infinitesime




ricordiamo anche che




Applicando le regole di derivazione per le costanti otteniamo infine





Frequenza di risonanza



Abbiamo osservato finora il fenomeno della risonanza elettrica che si manifesta nel continuo scambio di energia tra induttore e condensatore: in assenza di perdite energetiche il processo continua indefinitamente.

Questo scambio energetico è regolato dalla variazione continua di tensione e corrente le quali assumono valori alternati con andamento sinusoidale: in quanto tali, quindi, esse sono determinate da un valore di picco ( e ) ed da una medesima frequenza ().


Per il verificarsi della risonanza, però, tensione e corrente devono possedere una particolare frequenza chiamata appunto frequenza di risonanza o frequenza naturale di oscillazione ad indicare ancora una volta l'analogia con il pendolo.


La frequenza di risonanza, indicata di seguito con , è determinabile a priori in quanto dipende dal valore della capacità del condensatore e dell'induttanza dell'induttore. Quando la frequenza di lavoro di tensione e corrente nel circuito LC corrisponde a , la tensione sul condensatore (1) e la tensione sull'induttore (4) sono uguali:





In conclusione la frequenza di risonanza del circuito oscillante LC è calcolabile tramite la seguente espressione




La frequenza di risonanza si misura in Hertz (Hz) e dipende dal valore della capacità e dell'induttanza di circuito.




Energia del circuito risonante



Durante il fenomeno della risonanza il circuito oscillante converte l'energia elettrostatica del condensatore in energia magnetica dell'induttore e, per il principio di conservazione dell'energia, in ogni istante la somma di questi due contributi energetici è costante.



Energia elettrica nel condensatore



Si supponga che in un primo momento tutta l'energia del circuito sia immagazzinata nel condensatore sottoforma di energia elettrostatica: in ogni istante sulle armature è applicata una differenza di potenziale ( o semplicemente ) in grado di separare e mantenere su di esse una carica elettrica anch'essa dipendente dal tempo ( o semplicemente ).


Il lavoro necessario per effettuare la separazione delle cariche corrisponde all'energia immagazzinata nel condensatore ed è espresso dalla seguente formula (rivedere, in caso, la teoria)





L'energia capacitiva dipende quindi dalla carica q e dalla tensione v presenti in un certo istante ai capi del condensatore e si dimostra essere numericamente uguale all'area sottesa dalla funzione (5) il cui grafico è riportato di seguito.



Energia elettrostatica del condensatore




L'energia elettrostatica accumulata nel condensatore in dato istante di tempo, dipende dalla capacità C, dalla d.d.p. v(t) disposta ai capi del condensatore e dalla carica q(t) accumulata sulle armature, secondo le seguenti relazioni:




e si misura in Joule (J).




Energia magnetica nell'induttore



Durante il fenomeno della risonanza l'energia elettrica immagazzinata nel condensatore viene trasformata ed utilizzata dal circuito per magnetizzare l'induttore:





Energia magnetica induttiva




L'energia magnetica immagazzinata in un certo istante nell'induttore di induttanza L durante il fenomeno della risonanza dipende dal valore istantaneo della corrente secondo la seguente espressione:




e si misura in Joule (J).





Energia totale




Nelle ipotesi fatte, possiamo affermare che il bilancio energetico nel circuito LC risonante puro dato dalla somma dell'energia elettrica e magnetica è costante nel tempo




e pari all'energia elettrica massima posseduta dal condensatore o all'energia magnetica massima posseduta dall'induttore



redattore del materiale didattico: marco pezzini