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Vettori in un sistema cartesiano



Qualsiasi vettore nel piano (o spazio) può essere espresso come una combinazione lineare di basi di vettori nel piano (o spazio) prendendo:

  • una base formata da due vettori diversi da zero (il piano è bidimensionale)

  • una base formata da tre vettori diversi da zero (lo spazio è tridimensionale)


Se i vettori sono disegnati in un sistema di coordinate nel piano (bidimensionale), la base vettoriale è costituita da e come mostrato in Figura1.


Figura1



Se i vettori sono disegnati in un sistema di coordinate nello spazio (tridimensionale), la base vettoriale è costituita da e come mostrato in Figura2.


Figura2



I vettori di base nel piano e nello spazio hanno le seguenti proprietà:

  • hanno lunghezza 1 (sono vettori unitari)

  • sono vettori a due a due perpendicolari tra loro

  • il vettore ha la stessa direzione dell'asse x, il vettore ha la stessa direzione dell'asse y ed il vettore ha la stessa direzione dell'asse z, come si evince da Figura1 e Figura2.


La base nel caso bidimensionale (piano) è chiamata base ortonormale standard del piano. E' costituita da due vettori e che hanno le componenti:






Analogamente, la base nel caso tridimensionale (spazio) è chiamata base ortonormale standard dello spazio. E' costituita da tre vettori e che hanno le componenti:








Vettori locali



I vettori in un sistema di coordinate rettangolari, nel piano o nello spazio, di solito si disegnano partendo da un punto scelto come punto iniziale. Tale vettore è chiamato vettore locale.


Il vettore locale relativo al punto A ha come punto iniziale l'origine e come punto finale il punto A. Le componenti di sono uguali alle coordinate del punto A.



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Calcolare le componenti dei vettori



Tutte le regole e le formule che si applicano ai vettori con due componenti, si utilizzano anche per i vettori con tre componenti.



Somma di vettori di cui si conoscono le componenti



Vediamo come si effettua la somma tra un vettore di componenti e ed un vettore di componenti e .






effettuiamo la somma addizionando tra loro i componenti:




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Moltiplicazione di uno scalare per un vettore di cui si conoscono le componenti



Per moltiplicare un vettore di componenti ed per uno scalare, basta moltiplicare il numero stesso per ciascuna delle componenti del vettore.


Per moltiplicare




con uno scalare k, moltiplichiamo k per le componenti di :




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Lunghezza di un vettore



Prima di calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore, ricordiamo cosa dice il Teorema di Pitagora:


"In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa (c) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (a e b)".


Esplicitando l'enunciato in formula matematica:




Il teorema è molto utile per trovare la lunghezza di un vettore avente componenti ed come in Figura3.


Figura3



La lunghezza del vettore è l'ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti sono le componenti del vettore dato .


La formula da utilizzare per calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore , note le componenti ed , utilizza il Teorema di Pitagora:




da cui, effettuando la radice quadrata:




dove è la prima componente del vettore (asse x) mentre è la seconda componente del vettore (asse y).



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Componenti di un vettore generico partendo da due punti distinti



Dati due qualsiasi punti A e B, si definiscono i vettori locali e . Le componenti del vettore si calcolano come:




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Vettore locale associato al punto medio di un segmento



Sia AB un segmento ed S il punto medio. Il vettore locale associato al punto S è uguale alla metà della somma dei vettori locali ed associati ad A e B.




Le componenti del vettore locale sono le coordinate del punto S.



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Relazione tra un vettore generico ed i vettori di base



Caso bidimensionale (piano)



Qualunque vettore




nel piano può essere espresso utilizzando i due vettori di base (detti anche versori)







  • Un qualunque vettore può essere espresso con i vettori di base


    La prima componente del vettore è moltiplicata per il vettore di base , mentre la seconda componente è moltiplicata per il vettore di base .

    Quindi il vettore di componenti (x,y) si esprime come:




    Analogamente si ottiene la stessa formula in questo modo:




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Caso tridimensionale (spazio)



Qualunque vettore




nello spazio può essere espresso utilizzando i tre vettori di base (detti anche versori)









  • Un qualunque vettore può essere espresso con i vettori di base


    La prima componente del vettore è moltiplicata per il vettore di base , la seconda componente è moltiplicata per il vettore di base e la terza componente è moltiplicata per il vettore di base .


    Quindi il vettore di componenti (x,y,z) si esprime come:




    Analogamente si ottiene la stessa formula in questo modo:




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redattore del materiale didattico: Fabio Catalanotto