Qualsiasi vettore nel piano (o spazio) può essere espresso come una combinazione lineare di basi di vettori nel piano (o spazio) prendendo:
una base formata da due vettori diversi da zero (il piano è bidimensionale)
una base formata da tre vettori diversi da zero (lo spazio è tridimensionale)
Se i vettori sono disegnati in un sistema di coordinate nel piano (bidimensionale), la base vettoriale è costituita da 
e 
come mostrato in Figura1.
Figura1
Se i vettori sono disegnati in un sistema di coordinate nello spazio (tridimensionale), la base vettoriale è costituita da 
e 
come mostrato in Figura2.
Figura2
I vettori di base nel piano e nello spazio hanno le seguenti proprietà:
hanno lunghezza 1 (sono vettori unitari)
sono vettori a due a due perpendicolari tra loro
il vettore ha la stessa direzione dell'asse x, il vettore 
ha la stessa direzione dell'asse y ed il vettore 
ha la stessa direzione dell'asse z, come si evince da Figura1 e Figura2.
La base nel caso bidimensionale (piano) è chiamata base ortonormale standard del piano. E' costituita da due vettori 
e che hanno le componenti:
Analogamente, la base nel caso tridimensionale (spazio) è chiamata base ortonormale standard dello spazio. E' costituita da tre vettori 
e che hanno le componenti:
I vettori in un sistema di coordinate rettangolari, nel piano o nello spazio, di solito si disegnano partendo da un punto scelto come punto iniziale. Tale vettore è chiamato vettore locale.
Il vettore locale relativo al punto A ha come punto iniziale l'origine e come punto finale il punto A. Le componenti di 
sono uguali alle coordinate del punto A.
Tutte le regole e le formule che si applicano ai vettori con due componenti, si utilizzano anche per i vettori con tre componenti.
Vediamo come si effettua la somma tra un vettore 
di componenti 
e 
ed un vettore 
di componenti 
e 
.
effettuiamo la somma addizionando tra loro i componenti:
Per moltiplicare un vettore di componenti ed 
per uno scalare, basta moltiplicare il numero stesso per ciascuna delle componenti del vettore.
Per moltiplicare
con uno scalare k, moltiplichiamo k per le componenti di 
:
Prima di calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore, ricordiamo cosa dice il Teorema di Pitagora:
"In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa (c) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (a e b)".
Esplicitando l'enunciato in formula matematica:
Il teorema è molto utile per trovare la lunghezza di un vettore avente componenti 
ed 
come in Figura3.
Figura3
La lunghezza del vettore è l'ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti sono le componenti del vettore dato .
La formula da utilizzare per calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore 
, note le componenti ed , utilizza il Teorema di Pitagora:
da cui, effettuando la radice quadrata:
dove è la prima componente del vettore (asse x) mentre è la seconda componente del vettore (asse y).
Dati due qualsiasi punti A e B, si definiscono i vettori locali 
e 
. Le componenti del vettore 
si calcolano come:
Sia AB un segmento ed S il punto medio. Il vettore locale 
associato al punto S è uguale alla metà della somma dei vettori locali ed associati ad A e B.
Le componenti del vettore locale sono le coordinate del punto S.
Qualunque vettore
nel piano può essere espresso utilizzando i due vettori di base (detti anche versori)
Un qualunque vettore può essere espresso con i vettori di base
La prima componente del vettore è moltiplicata per il vettore di base , mentre la seconda componente è moltiplicata per il vettore di base .
Quindi il vettore 
di componenti (x,y) si esprime come:
Analogamente si ottiene la stessa formula in questo modo:
Qualunque vettore
nello spazio può essere espresso utilizzando i tre vettori di base (detti anche versori)
Un qualunque vettore può essere espresso con i vettori di base
La prima componente del vettore è moltiplicata per il vettore di base , la seconda componente è moltiplicata per il vettore di base e la terza componente è moltiplicata per il vettore di base .
Quindi il vettore 
di componenti (x,y,z) si esprime come:
Analogamente si ottiene la stessa formula in questo modo:
