Presentiamo alcuni teoremi che riguardano le funzioni derivabili. Questi teoremi, a partire da una serie di ipotesi, hanno come tesi la dimostrazione di alcune condizioni della funzione in un punto preciso.
Il primo teorema del calcolo differenziale che esaminiamo è il Teorema di Rolle:
Teorema di Rolle
Sia 
una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b).
Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, ossia 
, allora esiste almeno un punto 
tale che:
Ovvero un punto a tangente orizzontale.
Le ipotesi del teorema sono quattro:
la funzione deve essere continua in un intervallo [a,b];
la funzione deve essere derivabile all'interno dell'intervallo (a,b);
l'intervallo deve essere chiuso e limitato;
i valori della funzione agli estremi dell'intervallo devono essere uguali;
La tesi del teorema sostiene che esiste almeno un punto interno all'intervallo per cui il valore della derivata prima in quel punto è nulla. Il che equivale a dire che:
in quel punto si ha una tangente orizzontale oppure;
si ha una tangente parallela all'asse x, oppure;
si ha una tangente parallela alla retta passante per gli estremi dell'intervallo, dato che gli estremi assumono per ipotesi lo stesso valore.;
Funzione f(x) nell'intervallo [a,b]
Nel grafico è rappresentata una generica funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. La funzione è derivabile all'interno dell'intervallo stesso: in ogni punto della curva quindi esiste una retta tangente ad essa.
Esiste almeno un punto (ce ne potrebbe essere anche più di uno) interno all'intervallo considerato (cioè non deve coincidere con uno dei due estremi) in cui la tangente è parallela all'asse x, cioè parallela alla retta che congiunge f(a) e f(b).
Per ipotesi la f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a,b]. Allora per il Teorema di Weierstrass ha un massimo M e un minimo m, dove:
Possiamo avere due casi:
Funzione costante nell'intervallo
Il massimo e il minimo assoluti coincidono: M=m. Allora y=f(x) è costante in tutto l’intervallo, la derivata è nulla in tutti i suoi punti e il teorema è dimostrato. Vediamo il grafico:
Funzione costante: massimo e minimo coincidono
Funzione non costante nell'intervallo
In questo caso abbiamo:
Vediamo il grafico:
Funzione non costante
Indichiamo con:
c il valore assunto della funzione nel punto M;
d quello assunto in m;
Per ipotesi abbiamo:
Quindi almeno uno dei punti c o d deve cadere all'interno dell’intervallo.
Mettiamo che sia c a cadere all'interno dell’intervallo. Il punto c è il punto di massimo: possiamo dire che in qualsiasi altro punto distante da c una distanza h (misurata sull'asse x), la funzione assume valori minori o uguali a f(c), cioè:
che possiamo scrivere anche:
Se dividiamo per h otteniamo i rapporti incrementali destro (quando h>0) e sinistro (quando h<0) relativi al punto c:
Dato che per ipotesi la funzione è derivabile in c, allora i limiti per h che tende a 0 dei due rapporti incrementali appena trovati esistono, sono finiti, uguali tra loro e pari a f ’(c).
Passiamo allora al limite:
Poiché il limite del rapporto incrementale è il valore della derivata e poiché le derivate destra e sinistra devono essere uguali (per definizione di funzione derivabile), l’unico valore ammesso che sia maggiore uguale di zero o minore uguale di zero, è zero:
da cui consegue che esiste un punto c interno all'intervallo per cui la derivata prima è nulla:
Vediamo ora un esempio.
L'enunciato del teorema di Rolle è in realtà un caso particolare del Teorema di Lagrange, conosciuto anche come teorema del valor medio.
Teorema di Lagrange
Sia una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b).
Allora esiste almeno un punto 
tale che:
Le ipotesi del teorema sono tre:
la funzione deve essere continua in un intervallo [a,b];
la funzione deve essere derivabile all'interno dell'intervallo (a,b);
l'intervallo deve essere chiuso e limitato.
La tesi del teorema può essere scritta anche come:
in questa forma vediamo in modo più esplicito il suo significato: esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la tangente è parallela alla retta passante per i due estremi dell'intervallo. Vediamo con un disegno cosa significa:
Funzione f(x) nell'intervallo [a,b]
La dimostrazione si basa sul Teorema di Rolle. Per procedere abbiamo bisogno di definire una nuova funzione g(x) tale che:
e che soddisfi le ipotesi di Rolle, cioè:
g(x) continua in [a,b];
g(x) derivabile in (a,b);
g(x) assume lo stesso valore agli estremi a e b dell'intervallo.
La funzione g(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle; infatti g(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) e assume lo stesso valore agli estremi, infatti calcolando il valore della funzione g(x) negli estremi del'intervallo otteniamo:
cioè:
Allora, essendo tutte e tre le ipotesi verificate, secondo il teorema di Rolle esiste un punto c tale che:
Deriviamo la funzione :
e calcoliamola nel punto x=c per cui, secondo Rolle, si ha :
In questo modo abbiamo ottenuto la tesi del teorema:
Facciamo un esempio:
Il teorema di Cauchy, conosciuto anche come Teorema degli incrementi finiti, è un ampliamento del teorema di Lagrange.
Siano 
due funzioni reali di variabile reale continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con 
.
Allora esiste almeno un punto 
tale che:
Vediamo che se applicassimo il Teorema di Lagrange alle due funzioni separatamente nello stesso intervallo e poi facessimo il rapporto ne risulterebbe la formula del Teorema di Cauchy!
Applichiamo Lagrange alla funzione f(x) in [a,b]:
Applichiamo Lagrange alla funzione g(x) in [a,b]:
Facciamo il rapporto:
Abbiamo ottenuto la formula espressa nella tesi del Teorema di Cauchy.
Le ipotesi del Teorema di Cauchy sono le stesse del Teorema di Lagrange (continuità e derivabilità), con la differenza che è stata introdotta una nuova funzione la cui derivata non si può mai annullare:
f e g sono continue in [a, b];
f e g sono derivabili in (a,b) con .
La tesi del teorema di Cauchy sostiene che:
Disegniamo su un piano cartesiano due funzioni f(x) e g(x) che rispettino le ipotesi di continuità e derivabilità del teorema e osserviamo graficamente cosa espone la tesi.
Il primo termine:
esprime il rapporto tra le derivate calcolate in un punto, cioè il rapporto tra le pendenze delle due tangenti in quel punto.
Il secondo termine dell'espressione, cioè:
esprime il rapporto tra gli incrementi delle due funzioni tra gli estremi dell'intervallo, f(b)-f(a) segnato in blu e g(b)-g(a) segnato in rosso sull'asse y.
Funzioni f(x) e g(x)
Quindi, ad esempio, se il rapporto tra gli incrementi delle funzioni è pari a due, esiste un punto c in cui il rapporto tra le pendenze delle tangenti è proprio due.
Osserviamo che 
, cioè i valori negli estremi dell'intervallo della funzione g(x) non coincidono.
Infatti se coincidessero, per il Teorema di Rolle, esisterebbe un punto 
tale che 
.
Il che andrebbe contro una delle ipotesi.
Per dimostrare il Teorema abbiamo bisogno di una nuova funzione 
definita da:
e tale da soddisfare le ipotesi diRolle:
h(x) è continua in [a, b] perché composizione di funzioni continue;
h(x) è derivabile in (a,b) perché composizione di funzioni derivabili;
h assume lo stesso valore negli estremi dell'intervallo:
infatti semplificando si ottiene:
l'intervallo [a,b] è chiuso e limitato.
La funzione h soddisfa le quattro ipotesi del Teorema di Rolle, per cui esiste un punto in cui 
.
Calcoliamo la derivata di :
Sostituiamo il valore x=c per cui si ha h'(c)=0 nell'espressione della derivata di h:
Scriviamo l'espressione in altra forma:
Abbiamo ottenuto la tesi del teorema, cioè:
Facciamo un esempio:
Il Teorema non ha un'applicazione esplicita, serve piuttosto per la dimostrazione di altri teoremi.
Le regole di De l'Hôpital hanno una notevole importanza perché permettono, in molti casi, di calcolare i limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate del tipo 
e 
con l'aiuto delle derivate.
La regola può essere estesa anche per calcolare alcuni limiti di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate.
Teorema di De l'Hôpital - forma indeterminata
Siano f e g due funzioni reali di variabile reale definite in un intorno 
di 
con 
, tali che:
f e g siano continue e derivabili nell'intorno (con esclusione al più del punto );
;
;
esiste finito o infinito:
.
Allora esiste anche:
e vale:
Anche per il caso il teorema dice:
Teorema di De l'Hôpital - forma indeterminata
Siano f e g due funzioni reali di variabile reale definite in un intorno di con , tali che:
f e g siano continue e derivabili nell'intorno (con esclusione al più del punto );
;
;
esiste finito o infinito:
.
Allora esiste anche:
e vale:
Vediamo quali sono le ipotesi del teorema:
le due funzioni f e g sono continue e derivabili in un intorno I di , cioè nei punti vicini a . Il punto può essere escluso;
la derivata prima di g(x) deve essere diversa da zero per qualsiasi x appartenente all'intorno I, possiamo escludere solo il punto stesso;
i limiti delle due funzioni per 
devono tendere a zero nel caso la forma indeterminata sia del tipo oppure a infinito nel caso sia 
;
il limite per del rapporto delle derivate delle due funzioni deve essere un valore reale.
La tesi del teorema sostiene che il limite per del rapporto delle due funzioni è pari al limite per del rapporto delle derivate delle due funzioni e vale L, valore reale:
Le dimostrazioni (sia che o L siano finiti o infiniti, o che f e g convergano a zero o ad infinito, e che i limiti in considerazione siano destri, sinistri o bilateri) si basano sul Teorema di Cauchy.
Osserviamo che se le due funzioni non sono definite nel punto possiamo assegnare loro un valore tale che le renda continue, infatti ponendo:
visto che per ipotesi:
le due funzioni risulteranno definite e continue (da destra) anche nel punto .
Fissiamo ora un punto x appartenente all'intorno , con 
. Supponiamo che in questo intervallo chiuso 
valgano le condizioni per l'applicazione del teorema di Cauchy.
Per il teorema allora esiste almeno un punto c nell'intervallo tale che:
Dal momento che abbiamo supposto che:
la relazione di Cauchy diventa:
che significa che il rapporto delle derivate calcolate nel punto c è uguale al rapporto delle funzioni calcolate in x.
Facciamo ora tendere 
, dato che 
, anche il punto c tenderà a da destra.
Per il teorema del confronto, se allora anche 
e quindi vale:
Perché per ipotesi il limite:
esiste ed è pari a L, allora si ha:
In modo del tutto analogo si prova il limite sinistro:
ottenendo così la tesi del Teorema.
Non sempre conviene applicare il Teorema di De l'Hôpital perché potrebbe non semplificare il calcolo (soprattutto quando abbiamo funzioni razionali fratte) e qualche volta può accadere che anche dopo l'applicazione reiterata si ottengano sempre forme indeterminate, in questi casi può essere d'aiuto scrivere il quoziente in un'altra forma.
