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Teorema di Talete



Il Teorema di Talete è uno dei teoremi caratteristici della geometria euclidea. Esso è direttamente collegato al quinto postulato di Euclide, il postulato delle parallele, e la sua dimostrazione si basa sulle proprietà euclidee delle rette parallele tagliate da una trasversale.


Enunciato



Il teorema di Talete afferma la proporzionalità tra i segmenti corrispondenti staccati da un insieme fissato di rette parallele su due qualunque rette ad esse trasversali.


Il teorema di Talete


Rette parallele , , ... , tagliate da due trasversali e , formano sulle trasversali coppie di segmenti a due a due proporzionali.




Dimostrazione



La dimostrazione si ottiene verificando le due proprietà necessarie e sufficienti alla proporzionalità di due insiemi di grandezze in corrispondenza tra di loro:



A elementi uguali nel primo insieme corrispondono elementi uguali nel secondo insieme




Consideriamo allora il nostro insieme di rette parallele tagliate da due trasversali e .


Per dimostrare la prima proprietà, fissiamo due coppie di parallele , , e che stacchino sulla prima trasversale due segmenti congruenti e . Chiamiamo e i segmenti corrispondenti tagliati sulla seconda trasversale .


La dimostrazione del Teorema di Talete



Dimostriamo che


è congruente a


se


è congruente




Per dimostrare la tesi congruente data l'ipotesi congruente , costruiamo a partire da e due segmenti e paralleli a e .



costruiamo a partire da e due segmenti e paralleli a e




Per la proprietà transitiva della relazione di parallelismo, i due segmenti e sono paralleli tra di loro in quanto entrambi sono paralleli alla retta .


Se consideriamo i triangoli e , essi risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Essi infatti hanno i lati congruente per ipotesi; gli angoli adiacenti a tali lati sono inoltre a due a due congruenti in quanto angoli corrispondenti, rispetto alle parallele e tagliate dalla trasversale e rispetto alle parallele e sempre tagliate dalla trasversale .


Quindi i segmenti e sono congruenti tra di loro.

Ma per costruzione, essi sono lati opposti a e nei parallelogrammi e , quindi sono congruenti rispettivamente a e .


Applicando la proprietà transitiva della relazione di congruenza, concludiamo finalmente che è congruente a , come dovevamo dimostrare.



A somme di elementi nel primo insieme corrisponde la somma degli elementi corrispondenti nel secondo insieme




La seconda condizione necessaria e sufficiente per la proporzionalità si ricava immediatamente dalla prima, osservando che il segmento somma di segmenti congruenti si ottiene allineando i segmenti da sommare.




Dati i segmenti e sulla prima trasversale, riporto sulla stessa retta un segmento congruente ad . Si ha allora che è congruente alla somma di e .

Ma per quanto dimostrato sopra, il corrispondente segmento sulla seconda trasversale sarà congruente a . Per la proprietà delle somme si avrà allora che è congruente alla somma di e , come si doveva dimostrare.


Il Teorema di Talete applicato ai triangoli



L'enunciato di Euclide nel VI libro degli Elementi si riferisce al caso di un triangolo


Una retta parallela al lato di un triangolo taglia gli altri due lati in segmenti proporzionali tra di loro.


E viceversa.


Se una retta determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, allora è parallela al terzo lato.



Nel caso particolare di una retta passante per il punto medio dei lati obliqui, si ha il seguente importante


Corollario al teorema di Talete


Il segmento che unisce i punti medi di due qualunque lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e la sua misura è pari alla metà dello stesso terzo lato:







Un'altra importante conseguenza del teorema di talete è il seguente


Teorema della bisettrice


Dato un triangolo , la bisettrice di ciascun angolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati in modo che ciascun segmento corrisponda al lato con il quale ha un vertice in comune.




In formule, seguendo la figura:






Le dimostrazioni di questi due teoremi sono presentate negli esercizi 4 e 5.



Divisione di un segmento in parti uguali



Sembra così teorico, eppure il Teorema di Talete ha delle importanti applicazioni pratiche.ci permette di dividere qualsiasi segmento in un numero qualunque di parti uguali.



Autore principale e redattore del materiale didattico: OpenProf.com