Teorema di Pitagora

Il Teorema di Pitagora è un importante teorema che mette in relazione i lati di un triangolo rettangolo.

Ovvero: il quadrato costruito sul lato AB sommato al quadrato sul lato BC ha area equivalente al quadrato costruito sul lato AC. In formule:

Spieghiamo tramite alcuni esempi.

Nel caso di un'applicazione inversa del teorema di Pitagora.

Dalla formula possiamo ricavare le formule inverse

Il Teorema di Pitagora ha molte dimostrazioni celebri. Lo scienziato americano Elisha Scott Loomis, nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1927, classificò ben 371 differenti dimostrazioni. La maggior parte delle dimostrazioni si basa sulla scomposizione in figure equivalenti e ne proponiamo alcune negli esercizi.

Riportiamo invece per esteso la dimostrazione classica di Euclide, con la quale si conclude il Primo Libro degli Elementi, e un'elegante e molto interessante dimostrazione trovata nel 1876 dal futuro XX Presidente degli Stati Uniti d'America, James Abraham Garfield.

La dimostrazione di Euclide in sé è molto semplice, anche se negli Elementi vi è una lunga premessa per dimostrare che i quadrati sui cateti e l'ipotenusa possono effettivamente esistere ed essere costruiti.

Consideriamo il triangolo di vertice retto , e costruiamo un quadrato di lato , cioè pari alla somma dei due cateti.

L'area dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente all'area del quadrato di lato la somma dei cateti meno quattro volte l'area del triangolo di partenza

L'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente all'area del quadrato di lato la somma dei cateti meno quattro volte l'area del triangolo di partenza

Come si vede immediatamente dalla figura e si può dimostrare anche formalmente, possiamo sottrarre, in due modi diversi, quattro volte l'area del triangolo di partenza al quadrato di lato la somma dei cateti, ottenendo in un caso i due quadrati di lato rispettivamente il cateto minore e il cateto maggiore, e nell'altro caso il quadrato costruito sull'ipotenusa.

E' quindi verificata l'uguaglianza del Teorema di Pitagora.

James Abraham Garfield fu insegnante in un college, poi avvocato, e combatté nelle truppe dell’Unione durante la Guerra Civile; nel 1876 trovò una nuova dimostrazione del teorema di Pitagora e commentò così la scoperta: Questo è qualcosa su cui i due rami del Parlamento potranno essere d’accordo. Pochi anni dopo fu candidato ed eletto XX presidente degli Stati Uniti d'America, ma morì poco tempo dopo prematuramente.

Ecco la sua dimostrazione. Si noterà che la figura utilizzata è ricavabile come metà del secondo quadrato della dimostrazione di Euclide.

Consideriamo il trapezio avente le basi e congruenti ai due cateti del triangolo e l'altezza pari alla somma dei due cateti. Esso può essere scomposto, come in figura, in due triangoli congruenti al triangolo di partenza e in un terzo triangolo - rettangolo isoscele - di cateti pari all'ipotenusa del triangolo di partenza.

Sull'altezza fissiamo un punto tale che e .

Chiamiamo la misura del cateto minore e la misura del cateto maggiore .

Chiamiamo inoltre la misura dell'ipotenusa del nostro triangolo, rappresentata dai segmenti ee .

Si ha in quanto i triangoli e risultano congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli (i cateti sono a due a due congruenti per costruzione, e l'angolo compreso è di 90°).

Osserviamo inoltre che l'angolo è di 90° in quanto gli angoli e sono complementari.

Quindi il triangolo è rettangolo isoscele e i suoi cateti misurano . La sua area vale quindi .

L'area di ciascuno dei due triangoli e vale invece

mentre l'area del trapezio vale

dove la prima delle somme rappresenta la somma delle basi del trapezio, mentre la seconda rappresenta la misura dell'altezza.

Pareggiando le aree, poichè l'area del trapezio è pari alla somma delle aree dei tre diversi triangoli in cui è scomponibile, si ottiene:

da cui si ricava facilmente

.

Tra le dimostrazioni più classiche del Teorema di Pitagora, ricordiamo quella del matematico persiano Nasir ad-Din at-Tusi (Tus, 1202 - Baghdad, 1274) riportata in un' edizione araba degli Elementi di Euclide datata 1594. Si tratta in realtà della dimostrazione classica del Primo Teorema di Euclide, applicata alle due parti del triangolo.

Un'altra dimostrazione classica proveniente dal medioevo islamico è quella di Abu-l-Wafa Muhammad al-Buzjani (~ 970), detto al-Muhandis (l'architetto). Tale dimostrazione, interessante per il fatto che il motivo ornamentale che se ne produce si trova in molte architetture islamiche, viene presentata da Abu-l-Wafa come caso particolare in un celebre trattato sulla triplicazione del quadrato, ma divenne celebre in Europa soltanto nel XIX secolo grazie a un agente di cambio, Henry Perigal, che la illustrò estesamente intorno al 1840 e al quale viene generalmente attribuita.

Interessante come il teorema di Pitagora, e in particolare la terna pitagorica 3-4-5, venga proposto da Abu-l-Wafa come metodo tradizionalmente noto agli artigiani della sua epoca per la costruzione di un attrezzo di lavoro indispensabile: la squadra. Leggiamo nell'Enciclopedia Treccani: "Tra tali metodi, quello che egli attribuisce agli artigiani e che sembra essere stato in uso fin dall'Antichità, si basa sul teorema di Pitagora (si traccia con il compasso un segmento lungo 3 unità su un lato della squadra, uno lungo 4 sull'altro lato e si verifica che la retta che unisce gli estremi sia lunga 5); ritroveremo questo metodo di verifica della perpendicolarità basato sul calcolo in tutti i trattati di geometria pratica" (Hélène Bellosta, "La civilta islamica: antiche e nuove tradizioni in matematica. Geometria pratica", in Storia della Scienza, Enciclopedia Treccani, 2002)