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Teorema binomiale



Quando svolgiamo la potenza di un binomio, applichiamo le seguenti regole:










Come risolviamo però una qualunque potenza del seguente tipo ?




Possiamo farlo utilizzando il teorema binomiale (o formula di Newton).


Triangolo di Tartaglia



Vediamo come possiamo calcolare rapidamente i coefficienti che compaiono nello sviluppo della potenza di un binomio.


Facciamo riferimento alla seguente tabella in base al valore dell'esponente:



Isolando i coefficienti che compaiono nello sviluppo della potenza di un binomio otteniamo il cosiddetto Triangolo di Tartaglia nel quale, come possiamo vedere, la somma di due coefficienti adiacenti è uguale al coefficiente che si trova subito al di sotto di essi nella riga successiva.



Coefficiente binomiale



Nel capitolo delle combinazioni abbiamo incontrato il coefficiente binomiale, il quale può essere di aiuto nella risoluzione delle potenze di un binomio.


Rivediamo la formula del coefficiente binomiale:


Se n è il numero di tutti gli elementi a nostra disposizione e k è il numero di oggetti che vogliamo disporre nelle diverse combinazioni, il coefficiente binomiale sarà dato dalla formula:





Proprietà del coefficiente binomiale



Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:


Ricordiamo che: 0! = 1



Valore del coefficiente binomiale per k = 0



Sappiamo che per k = 0 e vale:










Il valore del coefficiente binomiale per k = 0 è:




Valore del coefficiente binomiale per k = 1



Sappiamo che per k = 1 e :










Il valore del coefficiente binomiale per k = 1 è:





Valore del coefficiente binomiale per k = n



Sappiamo che per :










Il valore del coefficiente binomiale per k = n è:





Uguaglianza dei coefficienti binomiali



Due coefficienti binomiali sono uguali se la somma , da cui:




Dimostrazione:




Ne ricaviamo che:


L'uguaglianza tra i coefficienti binomiali:




è verificata per .


Tale uguaglianza può essere scritta anche nel seguente modo:





Addizione





Dimostrazione:





Risoluzione della potenza di un binomio con i coefficienti binomiali



Rappresentiamo i valori contenuti nel Triangolo di Tartaglia sotto firma di coefficienti binomiali:



Osservando la tabella possiamo notare che n rappresenta l'esponente e che k assume valori che vanno da 0 a n. Possiamo quindi scrivere la seguente formula generale per risolvere la potenza di un binomio ad esponente n:


Data la potenza:




possiamo calcolarne il valore utilizzando la formula:




Esempio

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redattore del materiale didattico: Carmine Albanese