matematica

Suddivisione di un segmento in n parti

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1. Suddivisione di un segmento in 2, 4, 8,... parti uguali

2. Suddivisione di un segmento in n parti uguali

3. Dividere un segmento in un rapporto m:n

4. Estendere un segmento nel rapporto m:n

5. Forum

Suddivisione di un segmento in 2, 4, 8,... parti uguali

Costruiamo geometricamente la suddivisione di un segmento in parti uguali.

Prima di tutto, rappresentiamo il segmento con un disegno:

Passo 1

Per dividere il segmento in due parti uguali basta costruire il suo punto medio:

Con riferimento all'immagine qui sopra, si avrà:

ovvero il segmento è stato suddiviso in due parti di uguale lunghezza.

Passo 2

Costruiamo il punto medio del segmento e chiamiamolo .
Costruiamo il punto medio del segmento e chiamiamolo :

Si avrà:

Il segmento risulta quindi diviso in quattro parti della stessa lunghezza, pari a un quarto della misura del segmento.

Passi successivi

Si ripete la procedura descritta nei passi 1 e 2, costruendo ogni volta il punto medio di ogni segmento che compone la suddivisione precedente: i segmenti totali risulteranno ogni volta raddoppiati di numero, e la loro lunghezza sarà la metà della lunghezza delle parti ottenute al passo immediatamente precedente.

In generale dopo n passi, il segmento resterà suddiviso in parti uguali, ciascuna di lunghezza pari a .

Questo procedimento viene utilizzato in analisi numerica quando si applica il metodo della bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione, ad esempio è molto usata nel caso dei polinomi.

Suddivisione di un segmento in n parti uguali

Supponiamo di avere già disegnato il nostro segmento :

Passo 1

A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h
Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere
Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a
Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato
Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo
Ripetendo n volte l'operazione, individuiamo n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :

Passo 2

Disegniamo la retta passante per e .
In corrispondenza di ogni punto tracciamo la retta parallela a . Le rette costruite intersecheranno il segmento in tanti punti quanti sono i punti compresi tra e .
I punti così costruiti dividono il segmento in n parti di uguale lunghezza:

Per il teorema di Talete si ha infatti:

Poichè le n parti in cui è diviso il segmento sono congruenti, anche il segmento risulta diviso in n parti congruenti. La misura di ciascuna parte in cui viene diviso il segmento sarà .

Questo procedimento può essere usato anche per trovare una parte frazionaria di un segmento, come mostrato nel seguente esempio:

Esempio

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Dividere un segmento in un rapporto m:n

Poniamo di aver disegnato il nostro segmento :

Passo 1

A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h
Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere
Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a
Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato
Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo
Ripetendo m+n volte l'operazione, individuiamo m+n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :

Passo 2

Tracciamo la retta che congiunge e .
Tracciamo poi la retta parallela a e passante per il punto . Questa nuova retta taglierà il segmento in un punto :

Per il teorema di Talete si ha la proporzione:

Poichè per costruzione si ha , possiamo quindi concludere che e quindi il segmento è stato diviso secondo il rapporto m:n.

Esempio

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Estendere un segmento nel rapporto m:n

Consideriamo qui la costruzione nel caso in cui

Supponiamo di aver già disegnato il segmento :

Passo 1

Tracciamo la retta che contiene il segmento .
A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h
Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere
Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a
Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato
Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo
Ripetendo n volte l'operazione, individuiamo n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :

Passo 2

Tracciamo la retta che congiunge i punti e .
A partire dal punto tracciare poi la retta parallela a . Questa nuova retta incontrerà la retta contenente in un nuovo punto esterno al segmento di partenza:

Per il teorema di Talete risulta

Per costruzione, possiamo dire che , quindi avremo anche

In conclusione, il punto D estende il segmento nella proporzione m:n.

Esempio

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redattore del materiale didattico: OpenProf Portale