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Suddivisione di un segmento in n parti



Suddivisione di un segmento in 2, 4, 8,... parti uguali



Costruiamo geometricamente la suddivisione di un segmento in parti uguali.


Prima di tutto, rappresentiamo il segmento con un disegno:




Passo 1

Per dividere il segmento in due parti uguali basta costruire il suo punto medio:




Con riferimento all'immagine qui sopra, si avrà:




ovvero il segmento è stato suddiviso in due parti di uguale lunghezza.


Passo 2


  • Costruiamo il punto medio del segmento e chiamiamolo .

  • Costruiamo il punto medio del segmento e chiamiamolo :




Si avrà:




Il segmento risulta quindi diviso in quattro parti della stessa lunghezza, pari a un quarto della misura del segmento.


Passi successivi


Si ripete la procedura descritta nei passi 1 e 2, costruendo ogni volta il punto medio di ogni segmento che compone la suddivisione precedente: i segmenti totali risulteranno ogni volta raddoppiati di numero, e la loro lunghezza sarà la metà della lunghezza delle parti ottenute al passo immediatamente precedente.


In generale dopo n passi, il segmento resterà suddiviso in parti uguali, ciascuna di lunghezza pari a .


Questo procedimento viene utilizzato in analisi numerica quando si applica il metodo della bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione, ad esempio è molto usata nel caso dei polinomi.



Suddivisione di un segmento in n parti uguali



Supponiamo di avere già disegnato il nostro segmento :




Passo 1


  • A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h

  • Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere

  • Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a

  • Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato

  • Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo

  • Ripetendo n volte l'operazione, individuiamo n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :




Passo 2


  • Disegniamo la retta passante per e .

  • In corrispondenza di ogni punto tracciamo la retta parallela a . Le rette costruite intersecheranno il segmento in tanti punti quanti sono i punti compresi tra e .

  • I punti così costruiti dividono il segmento in n parti di uguale lunghezza:




Per il teorema di Talete si ha infatti:




Poichè le n parti in cui è diviso il segmento sono congruenti, anche il segmento risulta diviso in n parti congruenti. La misura di ciascuna parte in cui viene diviso il segmento sarà .


Questo procedimento può essere usato anche per trovare una parte frazionaria di un segmento, come mostrato nel seguente esempio:


Esempio

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Dividere un segmento in un rapporto m:n



Poniamo di aver disegnato il nostro segmento :




Passo 1


  • A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h

  • Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere

  • Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a

  • Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato

  • Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo

  • Ripetendo m+n volte l'operazione, individuiamo m+n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :




Passo 2


  • Tracciamo la retta che congiunge e .

  • Tracciamo poi la retta parallela a e passante per il punto . Questa nuova retta taglierà il segmento in un punto :




Per il teorema di Talete si ha la proporzione:




Poichè per costruzione si ha , possiamo quindi concludere che e quindi il segmento è stato diviso secondo il rapporto m:n.


Esempio

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Estendere un segmento nel rapporto m:n



Consideriamo qui la costruzione nel caso in cui




Supponiamo di aver già disegnato il segmento :




Passo 1


  • Tracciamo la retta che contiene il segmento .

  • A partire dall'estremo A disegniamo una semiretta obliqua h

  • Prendiamo un compasso con apertura a fissata a piacere

  • Puntando il compasso in individuiamo sulla semiretta un segmento di lunghezza a

  • Chiamiamo il secondo estremo del segmento trovato

  • Puntando il compasso in disegniamo sulla semiretta un nuovo segmento di lunghezza a: chiamiamo il secondo estremo

  • Ripetendo n volte l'operazione, individuiamo n segmenti di lunghezza a; l'ultimo estremo trovato sarà :




Passo 2


  • Tracciamo la retta che congiunge i punti e .

  • A partire dal punto tracciare poi la retta parallela a . Questa nuova retta incontrerà la retta contenente in un nuovo punto esterno al segmento di partenza:




Per il teorema di Talete risulta




Per costruzione, possiamo dire che , quindi avremo anche


In conclusione, il punto D estende il segmento nella proporzione m:n.


Esempio

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redattore del materiale didattico: OpenProf.com