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Successione aritmetica



Una successione reale molto importante è quella aritmetica, in quanto è molto intuitiva e facile da studiare.


Definizione



Una successione reale si dice aritmetica di punto iniziale a e ragione d se è della forma:




Intuitivamente la successione aritmetica parte da un numero a e si "muove" di n "passi" di lunghezza d sulla retta reale.


Successione aritmetica di ragione d e punto iniziale a



Esempio

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Presentazione ricorsiva



Prendendo due termini consecutivi sottraiamo il secondo al primo:




Riscriviamo l' uguaglianza precedente:




In più sappiamo che il primo termine è proprio il punto iniziale:




Una successione aritmetica di ragione d e punto iniziale a si può presentare in maniera ricorsiva:




Media Aritmetica



Ricordiamo la definizione di media aritmetica:


Dati due numeri reali a e b, la loro media aritmetica è il numero reale:




Un'importante proprietà della successione aritmetica si può esprimere tramite media aritmetica.


Ogni termine è media aritmetica di altri due termini che sono alla medesima distanza da esso




Dimostrazione:




Suddivisione a passo costante



Una notevole applicazione della successione aritmetica è quella di suddividere in sotto-intervalli uguali un intervallo limitato [a , b]: per far ciò è sufficiente decidere in quante parti si vuol dividere l' intervallo e calcolare gli estremi dei nuovi sotto-intervalli.


Suddivisione a passo costante



Dato un intervallo limitato [a , b], gli estremi dei suoi n sotto-intervalli di ugual lunghezza sono determinati dalla successione aritmetica finita:


  • è il punto iniziale


  • è il punto finale


  • : si chiama passo della suddivisione (in questo caso è costante)


  • sono i nuovi estremi dei sotto-intervalli


I sotto-intervalli saranno della forma



Vediamo un esempio.


Esempio

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redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin