Cubo di un binomio fb
 

Somma e prodotto di polinomi



Somma algebrica di polinomi



La somma algebrica di due o più polinomi è dato da un polinomio che si ottiene dopo aver sciolto le parentesi ed aver eventualmente effettuato la riduzione dei monomi simili qualora ne siano presenti.


Esempio

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Moltiplicazione di polinomi



Il prodotto di un polinomio può essere effettuato con un monomio o con un altro polinomio.


Prodotto di un polinomio per un monomio



Il prodotto di un polinomio per un monomio è dato da un polinomio i cui monomi sono ottenuti dal prodotto del monomio dato per ciascuno dei monomi del polinomio.


Esempio

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Come si può notare dall'esempio, poiché:




si può dedurre che se i monomi di un polinomio hanno un divisore comune (, nell'esempio), tale polinomio equivale al prodotto del divisore comune per il polinomio i cui monomi sono dati dal quoziente dei suoi termini per il divisore comune.


L'operazione inversa al prodotto di un polinomio per un monomio corrisponde a un raccoglimento a fattor comune o a "mettere in evidenza" tale fattore rappresentato dal divisore comune.



Tale argomento sarà approfondito di seguito.



Prodotto di due polinomi



Il prodotto di due polinomi è uguale a un terzo polinomio ottenuto moltiplicando ciascun termine di uno dei due per tutti i termini dell'altro.


Esempio

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Prodotti notevoli



Si definiscono prodotti notevoli alcuni particolari prodotti. Vediamone uno schema riassuntivo prima di analizzarli singolarmente nel dettaglio:




  • Il prodotto di una somma di monomi per la loro differenza è dato dalla differenza dei loro quadrati


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    Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:





  • Il quadrato di un binomio equivale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotto di tali monomi.


    Esempio

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    Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:




    e analogamente:





  • Il quadrato di un polinomio equivale alla somma algebrica dei quadrati dei suoi termini e dei doppi prodotti di ogni termine per i successivi.


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    Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:




    e analogamente con polinomi di qualsiasi numero di termini:





  • Il cubo di un binomio equivale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini e dei tripli prodotti dei quadrati di ogni termine per l'altro termine.


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    Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:




    e analogamente si ottiene:





  • Il cubo di un trinomio equivale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini, dei tripli prodotti del quadrato di ognuno di essi per ciascuno dei termini rimanenti e del sestuplo del prodotto dei tre monomi.


    Esempio

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    Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:





  • La potenza di un binomio (a + b) all'esponente n è data da un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti estremi sono uguali a 1, il secondo coefficiente è n e ogni altro coefficiente è uguale a quello del termine precedente moltiplicato per l'esponente di a in tale termine e diviso per l'esponente di b aumentato di 1.


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Se prendiamo in considerazione le seguenti potenze di un binomio che abbiamo visto finora:









si può notare che i polinomi risultanti dall'elaborazione delle potenze sono dei polinomi omogenei e completi, di grado uguale all'esponente.



Triangolo di Tartaglia



Con il Triangolo di Tartaglia possiamo facilmente risolvere l'elevamento a qualunque potenza di un binomio.

I coefficienti dei vari termini possono essere rappresentati mediante il Triangolo di Tartaglia che, come si può notare, è formato da righe ai cui estremi è sempre presente il coefficiente 1, mentre gli altri si ottengono dalla somma dei due coefficienti soprastanti:



Esempio

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Autore principale e redattore del materiale didattico: Carmine Albanese