La somma algebrica di due o più polinomi è dato da un polinomio che si ottiene dopo aver sciolto le parentesi ed aver eventualmente effettuato la riduzione dei monomi simili qualora ne siano presenti.
Il prodotto di un polinomio può essere effettuato con un monomio o con un altro polinomio.
Il prodotto di un polinomio per un monomio è dato da un polinomio i cui monomi sono ottenuti dal prodotto del monomio dato per ciascuno dei monomi del polinomio.
Come si può notare dall'esempio, poiché:
si può dedurre che se i monomi di un polinomio hanno un divisore comune (
, nell'esempio), tale polinomio equivale al prodotto del divisore comune per il polinomio i cui monomi sono dati dal quoziente dei suoi termini per il divisore comune.
L'operazione inversa al prodotto di un polinomio per un monomio corrisponde a un raccoglimento a fattor comune o a "mettere in evidenza" tale fattore rappresentato dal divisore comune.
Tale argomento sarà approfondito di seguito.
Il prodotto di due polinomi è uguale a un terzo polinomio ottenuto moltiplicando ciascun termine di uno dei due per tutti i termini dell'altro.
Si definiscono prodotti notevoli alcuni particolari prodotti. Vediamone uno schema riassuntivo prima di analizzarli singolarmente nel dettaglio:
Il prodotto di una somma di monomi per la loro differenza è dato dalla differenza dei loro quadrati
Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:
Il quadrato di un binomio equivale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotto di tali monomi.
Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:
e analogamente:
Il quadrato di un polinomio equivale alla somma algebrica dei quadrati dei suoi termini e dei doppi prodotti di ogni termine per i successivi.
Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:
e analogamente con polinomi di qualsiasi numero di termini:
Il cubo di un binomio equivale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini e dei tripli prodotti dei quadrati di ogni termine per l'altro termine.
Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:
e analogamente si ottiene:
Il cubo di un trinomio equivale alla somma algebrica dei cubi dei suoi termini, dei tripli prodotti del quadrato di ognuno di essi per ciascuno dei termini rimanenti e del sestuplo del prodotto dei tre monomi.
Riassumendo quanto dimostrato dall'esempio, vale dunque la regola generale:
La potenza di un binomio (a + b) all'esponente n è data da un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti estremi sono uguali a 1, il secondo coefficiente è n e ogni altro coefficiente è uguale a quello del termine precedente moltiplicato per l'esponente di a in tale termine e diviso per l'esponente di b aumentato di 1.
Se prendiamo in considerazione le seguenti potenze di un binomio che abbiamo visto finora:
si può notare che i polinomi risultanti dall'elaborazione delle potenze sono dei polinomi omogenei e completi, di grado uguale all'esponente.
Con il Triangolo di Tartaglia possiamo facilmente risolvere l'elevamento a qualunque potenza di un binomio.
I coefficienti dei vari termini possono essere rappresentati mediante il Triangolo di Tartaglia che, come si può notare, è formato da righe ai cui estremi è sempre presente il coefficiente 1, mentre gli altri si ottengono dalla somma dei due coefficienti soprastanti:
