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Serie geometrica



In questo capitolo svolgeremo in dettaglio gli aspetto riguardanti la serie geometrica.


Definizione



Una serie è detta geometrica se è della forma:




ovvero se la sua successione associata è


  • q si chiama ragione.


  • a è il punto iniziale.


Un metodo comodo per riconoscerla immediatamente è quello fare il rapporto di due termini della serie consecutivi:




ovvero è costantemente uguale alla ragione.


Esempio

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Ridotta n-esima



Prima di passare allo studio della convergenza della geometrica dimostriamo un' uguaglianza importante.


Sia la successione geometrica () allora




  • Passo base: , quindi è verificato.


  • Passo induttivo:


Possiamo concludere che è la successione delle somme parziali di :




Esempio

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Convergenza



A seconda del valore che assume la ragione abbiamo 4 casi:




  • La serie diventa:




    La sua ridotta n-esima sarà della forma:




    Prendiamo la sotto-successione di indice pari e quella di indice dispari:






    facciamone il limite:






    quindi, esistendo due sotto-successioni che hanno limiti diversi, la serie è indeterminata.




  • La serie diventa:




    La sua ridotta n-esima sarà della forma:




    facciamone il limite:




    quindi la serie è divergente a a seconda del segno di a.




  • Sappiamo che:




    La successione è infinitesima




    La serie geometrica è convergente e converge a:






  • Sappiamo che:




    La successione diverge e quindi anche la serie geometrica diverge.


    Nel caso particolare in cui q > 1:




    e per la serie geometrica:




Esempio

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redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin