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Serie aritmetica



In questo capitolo svolgeremo in dettaglio gli aspetto riguardanti la serie aritmetica.


Definizione



Una serie è detta aritmetica se è della forma:




ovvero se la sua successione associata è


  • d si chiama ragione.


  • a è il punto iniziale.


Un metodo comodo per riconoscerla immediatamente è quello calcolare la differenza di due termini della serie consecutivi:




ovvero è costantemente uguale alla ragione.


Esempio

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Ridotta n-esima



La somma ridotta della serie aritmetica ha due forme (implicita o esplicita) equivalenti:


  • Forma implicita:


  • Forma esplicita:



Dimostriamole per induzione.


  • Passo base: , quindi è verificato.


  • Passo induttivo:




Possiamo concludere che è la successione delle somme parziali di


Vediamo un esempio in cui applichiamo entrambe le forme.


Esempio

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Anche se le due forme sono equivalenti la forma implicita è da preferire quando si danno gli estremi della somma, mentre la forma esplicita è da preferire quando si dà punto iniziale e ragione.



Convergenza



Per studiare la convergenza della serie aritmetica scriviamo la sua ridotta n-esima in forma esplicita:




facciamone il limite:




A seconda del segno assunto dalla ragione abbiamo 2 casi:




In ogni caso abbiamo che la serie aritmetica diverge.


In molti testi si fa un abuso di linguaggio chiamando "serie aritmetica" la sua ridotta n-esima in quanto nella maggior parte delle applicazioni si sfrutta quest'ultima.


redattore del materiale didattico: Giuseppe Biasin